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课件网) 导数 函数的最值与导数 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f '(x)>0 f '(x)<0 1.函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有f ′(x)=0,则f(x)为常数. 设函数y=f(x)在某个区间内可导， f(x)为增函数 一 回顾复习 f ′(x)>0 f ′(x)<0 f(x)为减函数； 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有 点，都有 f(x)
f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值， 记作y极小值= f(x0)； 函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 一 回顾复习 2.函数极值与导数关系 3.求函数极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域; (2)求方程f ′(x)=0的根; (3)用方程f ′(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间， 并列成表格； (4)由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极 值的情况。 左正右负极大值；左负右正极小值。 一 回顾复习 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 一 回顾复习 一 回顾复习 4.函数最值的定义 (1)最大值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; ②存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. (2)最小值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; ②存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值. 定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象如图所示： 发现图中_____是极小值，_____是极大值，在区间上的函数的最大值是_____，最小值是_____。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) x x2 o a x3 b x1 y y=f(x) 如何求出函数在[a,b]上的最值？ 二 函数在闭区间上的最值 问题1：闭区间[a,b]上的连续不断的函数一定有最值吗？ x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 二 函数在闭区间上的最值 问题2：闭区间[a,b]上的连续不断的函数的最值一定在极值点处取得吗？ 一定在区间端点处取得吗？ 不一定，得比较极值与端点的值的大小 二 函数在闭区间上的最值 问题3：如何求函数在闭区间上的最值？ 解析：f′(x)＝12－3x2，－3≤x≤3. 令f′(x)＝0，得x=2或x=－2 ∵f(2)=22,f(－2)=－10,f(3)=15,f(－3)=－3, ∴函数在f(x)在区间[－3,3]上的最大值为22，最小值－10。 第二步：求出f(x)的极值和端点的函数值f(a)、f(b)； 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： 第一步：求出f(x)在区间(a,b)内极值点； 二 函数在闭区间上的最值 第三步：比较极值和f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最 小的一个为最小值. 练一练1.函数y=x3－3x2，在［－2，4］上的最大值为（ ） A. －4 B. 0 C. 16 D. 20 C 二 函数在闭区间上的最值 练一练2.函数 y = x + 3 x －9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,最小值 为 . 解析：由 f (x)=3x +6x－9=0,－4≤x≤4. 得x1=－3，x2=1 ∵f(－3)=27, f(1)=－5, f(4)=76, f(－4)=20, ∴函数在f(x)在区间[－4,4]上的最大值为76，最小值－5。 76 －5 二 函数在闭区间上的最值 二 函数在闭区间上的最值 二 函数在闭区间上的最值 问题4：函数在开区间上的最值又该如何求？ x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 该函数没有最值 ... ... 
