1.1菱形的性质与判定 【知识点1】菱形的判定与性质 1 【知识点2】菱形的判定 1 【知识点3】菱形的性质 2 【题型1】菱形的性质与坐标系 2 【题型2】菱形的性质与阴影面积 6 【题型3】菱形的判定 8 【题型4】菱形的性质和判定 10 【题型5】菱形的性质 13 【题型6】菱形的性质与最小值 16 【题型7】菱形的应用 19 【知识点1】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【知识点3】菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 【题型1】菱形的性质与坐标系 【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，4），则顶点B，C的坐标是（ ） A.B（8，4），C（5，0） B.B（8，4），C（4，0） C.B（7，4），C（5，0） D.B（7，4），C（4，0） 【答案】A 【解析】过点A作AD⊥OC于D， ∵A的坐标是（3，4），∴OD＝3，AD＝4，∴， ∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝AB＝5，AB∥x轴，∴B（8，4），C（5，0）. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，设AD与y轴交于点E， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB， ∵AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8， ∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，， ∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，∴∠EOD＝30°∴∴， ∵A，C关于O对称，∴. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（ ） A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0） 【答案】A 【解析】∵点B的坐标为（0，﹣3），∴OB＝3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ABO＝ABC＝60°， ∵∠AOB＝90°，∴OA＝3，∴A（﹣3，0）. 【举一反三3】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是 ． 【答案】（10，0） 【解析】∵四边形OABC是菱形，对角线OB，AC交于点D，∴AC⊥OB，∴∠ADO＝90°， ∵AC＝12，OB＝16，∴AD＝CD＝AC＝6，OD＝BD＝OB＝8，∴OA＝＝＝10， ∴A（10，0）， 【举一反三4】如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点A（﹣2，3），则点C的坐标为 ． 【答案】（2，﹣3） 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称， ∵点A（﹣2，3），∴点C的坐标是（2，﹣3）． 【举一反三5】如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60 ... ...
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