2025-2026学年人教版八年级数学上册第十四章 全等三角形专题提优特训 8 与角平分线有关的综合题（含答案）

专题提优特训 8 与角平分线有关的综合题 题型1 角平分线与高线共存 1. (2024·江西南昌三中期末)如图,在△ABC 中,AD,AF 分别为△ABC 的中线和高,BE 为△ABD的角平分线. (1)若∠BED=60°,∠BAD=40°,求∠BAF的大小； (2)若△ABC 的面积为40,BD=5,求AF 的长. 2. (2024·河南漯河召陵区期末)如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,AE 是∠BAD 的平分线,点 F 为AE 上一点,连接BF,∠BFE=45°. (1)求证:BF 平分∠ABE; (2)连接CF 交 AD 于点G,若S△ABF=S△CBF,求证:∠AFC=90°; (3)在(2)的条件下,当 BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长. 题型2 角平分线与平行线共存 3. 如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上. (1)求∠PAD 的度数; (2)求证:P 是线段CD的中点. 题型3 利用角平分线构造全等三角形 4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=100°,BD 平分∠ABC.求证:BC=BD+AD. 1. (1)∵∠BED=∠ABE+∠BAE, ∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=40°. ∵AF 为高,∴∠AFB=90°, (2)∵AD 为中线,∴BC=2BD=10. 2.(1)∵AE 是∠BAD的平分线,∴∠BAD=2∠BAF. ∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°, ∴2∠FBA+2∠BAF=90°. ∵AD 为BC 边上的高, ∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°, ∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA, ∴∠EBF=∠FBA,∴BF 平分∠ABE. (2)如图,过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于点N. ∵BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB, ∴FM=FN. ∵S△ABF=S△CBF, 即 BC·FM,∴AB=BC, 在△ABF 和△CBF 中 ∴△ABF≌△CBF(SAS),∴∠AFB=∠CFB. ∵∠BFE=45°,∴∠AFB=135°,∴∠CFB=135°, ∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=90°,∴∠AFC=90°. (3)∵△ABF≌△CBF,∴AF=FC. ∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD, ∴∠FAG=∠FCE, 在△AFG 和△CFE 中, ∴△AFG≌△CFE(ASA),∴AG=EC=4.5. ∵BE=3,∴BC=BE+EC=7.5. ∵△ABF≌△CBF,∴AB=BC=7.5. 3.(1)∵AD∥BC,∠D=90°, =60°. ∵PB 平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°. ∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°, ∵AP 平分 (2)过点 P 作PE⊥AB 于点E,如图. ∵AP 平分∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,∴PE=PD. ∵BP 平分∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB, ∴PE=PC,∴PD=PC,∴P 是线段CD 的中点. 4. 如图,在 BC上截取 BE=BA,延长 BD 到点 F,使 BF=BC,连接DE,CF. ∵BD 平分∠ABC, ∴∠1=∠2. 又BD 是公共边， BE= BA,∴△ABD≌△EBD(SAS), ∴ DA = DE,∠DEB=∠A. ∵∠A=100°,∠DEC+∠DEB=180°, ∴∠DEB=100°,∠DEC=80°. ∵AB=AC,BD平分∠ABC, ∵BC=BF,∠2=20°, ∴∠F=∠DEC. 又DC=DC,∴△DCE≌△DCF(AAS).∴DF=DE=AD.∴BC=BF=BD+DF=BD+AD. 难点突破 本题需要利用角平分线的对称性作出辅助线，然后通过三角形的内角和，全等三角形的判定和性质来解决问题.