【学霸笔记】高中数学同步周测13《抛物线》人教A版 选择性必修第一册（教师版）

周测13　抛物线 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.抛物线y=4x2的准线方程为(　　) A.x=- B.y=- C.x=- D.y=- 答案　D 解析　抛物线的方程可变为x2=y，由2p=得p=，则其准线方程为y=-=-. 2.已知抛物线y2=ax上的点M到其焦点的距离是1，那么实数a的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　由抛物线方程知，抛物线的焦点为F(a>0)，准线为x=-， 由抛物线定义知|MF|=+=1，解得a=2. 3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同的两点，且A，B中点的横坐标为2，则|AF|+|BF|等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B中点的横坐标为2，可得x1+x2=4， 所以|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6. 4.已知O为坐标原点，过点M(a，0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2p，则a等于(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　A 解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1===，同理可得，k2=， ∴k1k2=.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+a(a≠0)， 与抛物线的方程联立，得消去x，得y2-2mpy-2pa=0， 由根与系数的关系得，y1y2=-2pa，则k1k2===-=-2p， ∴a=1. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1===，同理可得k2=， ∴k1k2=.由A，M，B三点共线得∥， ∵=(x1-a，y1)，=(x2-a，y2)， ∴(x1-a)y2-(x2-a)y1=0，得y2-y1=0，得(y1-y2)(y1y2+2pa)=0. 若y1=y2，则直线AB与抛物线y2=2px(p>0)只有一个交点，不符合题意， ∴y1≠y2，即y1y2=-2pa，则k1k2===-=-2p，可得a=1. 5.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则||+||+||等于(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3). 由题意得抛物线焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x=-1. 因为++=0， 所以点F是△ABC的重心， 故x1+x2+x3=3， ||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6. 6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，点Q在准线l上，若|PQ|=|PF|，∠PFQ=30°，则点P的横坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设O为坐标原点，由抛物线的对称性，不妨设点P在第一象限， 由|PQ|=|PF|，可知∠PQF=∠PFQ， 由抛物线的定义，可知PQ⊥l，则有∠QFO=∠PQF=30°， 即∠PFO=60°，kPF=-. 由抛物线的方程可知，抛物线的焦点为F(1，0)， 设P，y0>0，则有=-， 即+4y0-4=0， 解得y0=(负值舍去)，x0==. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则(　　) A.p=4 B.抛物线的方程为y2=16x C.直线l的方程为y=2x-4 D.|AB|=10 答案　ACD 解析　因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p=4，故A正确； 故抛物线的方程为y2=8x，焦点F(2，0)，故B错误； 则=8x1，=8x2. 又M(m，2)是线段AB的中点，则y1+y2=4， 所以-=8x1-8x2， 即==2，所以直线l的方程为y=2x-4，故C正确； 由y1+y2=2(x1+x2)-8=4得x1+x2=6， 则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=10，故D正确. 8.设曲线C关于直线y=x对称的曲线为y=x2，曲线C的焦点为F，则下列关于曲线C的说法正确的是(　　) A.曲线C的方程为y2=4x B.以曲线C的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为+y2= C.若直线y=mx+1与曲线C恰有一个公共点，则m=1 D.从曲线C上一点P向准线作垂线，垂足为Q，若|PQ|=|QF|，则△PFQ的面积为4 答案　AD 解析　易得曲线C的方程为y2=4x，故A正确； 曲线C的焦点为(1，0)，故圆的半径为1，其方程为(x-1)2+y2=1，故B错误； 当m=0时，直线y=1与曲线C也只有一个公共点，故C错误； 由F(1，0)及抛物线的性质可知，|PQ|=|QF|=|PF|=4，所以 ... ...