4.1 第2课时 三角形中的特殊线段 素养目标 1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法. 2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质. 3.明确重心的概念与意义. 重点 会作三角形的高、中线和角平分线,并能根据性质进行计算. 【自主预习】 1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,AE平分∠BAC,AF⊥BC于点F,请指出△ABC的中线、角平分线和高. 2.三角形有几条中线 1.如图,若CD是△ABC的中线,AB=12,则BD的长为 ( ) A.6 B.5 C.8 D.4 2.如图,若∠ACB=60°,CD是∠ACB的平分线,则∠ACD= . 【合作探究】 知识点一：三角形的高 阅读课本本课时“做一做”及其前面一段文字,回答下列问题. 1.明晰概念:从三角形的一个顶点到它对边 的垂线段叫作三角形的高. 2.课堂操作:分别画一画下面三个三角形所有边上的高,你能得出什么结论吗 三角形的三条高相交于一点. 1.如图,△ABC的高是 ( ) A.线段BC B.线段EC C.线段BD D.线段CD 知识点二：三角形的角平分线 阅读课本本课时“做一做”后面的一段文字,回答下列问题. 1.明晰概念:如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的 ,表示为∠1=∠2=∠BAC或 . 2.讨论:三角形的角平分线与角的平分线有什么区别 3.思考:三角形的角平分线有几条 它们相交于一点吗 2.如图,BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,如果∠DBC=∠ECB,试说明∠ABC=∠ACB. 知识点三：三角形的中线 阅读课本本课本“说一说”至“例2”的内容,回答下列问题. 1.(1)明晰概念:三角形中,连接一个顶点与它 的线段叫作三角形的中线. (2)讨论:三角形的中线有几条 它们相交于一点吗 2.(1)思考:三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形面积相等吗 为什么 (2)揭示概念:三角形的三条中线相交于 ,我们把这三条中线的交点叫作三角形的 . ·学法指导· 三角形的中线、高、角平分线都是线段,都有三条,且都分别交于一点. 3.如图,在△ABC中,AD为中线,AB=5,AC=9,则△ACD与△ABD的周长之差为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 三角形的高、角平分线、中线的综合应用 例 在等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分,求此三角形各边的长. 变式训练 如图,△ABC中,AB=2 cm,BC=4 cm,△ABC的高AD与高CE的比是多少 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.△ABC的中线、角平分线和高分别是AD,AE和AF. 2.3条. 自学检测 1.A 2.30° 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.所在直线 2.画图略,第一个(锐角)三角形三条高的交点在三角形内部;第二个(直角)三角形三条高的交点在三角形的直角顶点;第三个(钝角)三角形三条高的交点在三角形外部. 对点训练 1.C 知识点二 1.角平分线 2∠1=2∠2=∠BAC 2.区别:三角形的角平分线是一条线段,可以度量;角的平分线是一条射线,不可度量. 3.三条.它们相交于一点. 对点训练 2.解:因为BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线, 所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB, 又∠DBC=∠ECB, 所以∠ABC=∠ACB. 知识点三 1.(1)对边中点 (2)三条.它们相交于一点. 2.(1)面积相等.这两个三角形的高都为原三角形的高,且底边相等. (2)一点 重心 对点训练 3.A 题型精讲 题型 例 解:(1)当底边小于腰长时,如图1,依题意有AB+AD=15(cm),BC+CD=12(cm). 图1 因为AB=AC,D是AC的中点,所以AD=AC=AB,从而AB+AD=AB=15(cm), 所以AC=AB=10 cm,CD=AD=5 cm,BC=12-CD=7(cm). 图2 (2)当底边大于腰长时,如图2,则有AB+AD=12(cm),BC+CD=15(cm), 同上法可求得AB=AC=8 cm,BC=11 cm. 上述两种情况解得的线段都构成三角形,故此题有两解. 变式训练 解:S△ABC=BC·AD=AB·CE, 所以BC·AD=AB·CE,即4AD=2CE, 所以AD与CE的比是. ... ...
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