4.3.5 三角形全等的应用 素养目标 1.会把实际问题转化为三角形全等问题. 2.会运用全等三角形的判定和性质解决实际问题. 重点 利用全等三角形的判定和性质解决实际问题. 【自主预习】 1.全等三角形的判定有哪些 2.怎样利用全等三角形解决实际问题 1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块,要想配一块与原来大小一样的三角形玻璃,可带去的玻璃是 ( ) A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块 2.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B之间的距离,可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走14米到点C,并在点C处立一根标杆,然后方向不变继续向东走14米到点D,再向南走27米,到达点E,使点E与点A,C在同一直线上,这时测得AB的长为 米. 【合作探究】 知识点：全等三角形的应用 阅读课本本课时所有的内容,回答下列问题. 利用全等三角形解决实际问题的一般步骤: 第一步,将实际问题转化成几何图形:明确哪些是已知条件,哪些是需要求解的问题. 第二步,找全等条件,判断两个三角形 :根据已知条件和几何图形,寻找能够证明两个三角形全等的条件. 第三步,利用全等三角形的性质来解决问题:一旦证明了两个三角形全等,就可以利用全等三角形的性质,即 相等和 相等,来解决实际问题. ·学法指导· 在实际操作中,可能还需要结合具体的几何知识和其他数学工具来进行分析和计算. 1.如图,这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点,DE,DF是连接弹簧和伞骨的支架,且DE=DF.已知弹簧D在向上滑动的过程中,总有△ADE≌△ADF,其判定依据是 ( ) A.角边角 B.角角边 C.边边边 D.边角边 2.如图,小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA=OD,OB=OC,AB=8 cm,EF=10 cm,则该容器壁的厚度为 cm. 3.如图,把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上,测得BM=6 m,梯子沿墙下滑到CD的位置,测得∠ABM=∠DCM,DM=8 m,求梯子下滑的高度. 测量方案问题 例 阅读并完成相应的任务. 如图,小华站在堤岸凉亭A点处,正对他的B点停有一艘游艇,他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离,于是制订了如下方案. 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案 示意图 测量步骤 ①小华沿堤岸走到电线杆C旁; ②再往前走相同的距离,到达D点; ③然后他向左直行,当自己、电线杆与游艇在同一直线上时停下来,此时小华位于点E处 测量数据 ∠A=90°,∠D=90°,AC=20米,CD=20米,DE=8米 任务:(1)凉亭与游艇之间的距离是 米. (2)请你说明小华方案正确的理由. 变式训练 学习完“利用三角形全等测距离”后,数学兴趣小组的同学就“测量河两岸A,B两点间的距离”这一问题,设计了如下方案. 课题 测量河两岸A,B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器,皮尺等 测量方案 示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点A,B,C在一条直线上,且CD=BC; ②测得∠DCB=100°,∠ADC=65°; ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=15°; ④测得DE的长度为30米 请你根据以上方案求出A,B两点间的距离. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.边角边,角边角,角角边,边边边. 2.先将实际问题转化为几何图形中的全等三角形模型,再利用全等三角形的判定和性质求解. 自学检测 1.D 2.27 【合作探究】 知识生成 知识点 全等 对应边 对应角 对点训练 1.C 2.1 3.解:在△ABM和△DCM中, 所以△ABM≌△DCM(角角边), 所以BM=CM=6 m,AM=DM=8 m, 所以AC=AM-CM=2 m, 即梯子下滑的高度是2 m. 题型精讲 题型 例 解:(1)8. (2)由题意可知AC=DC,∠A=∠D. 在△ABC和△DEC中, 所以△ABC≌△DEC(角边角), 所以AB=DE=8米, 所以小华的方案是正确的. 变式训练 解:因为∠DCB=100°,∠ADC=65°, 所以∠CAD=15°, 所以∠CAD=∠BEC. 在△ACD和△ECB中, 所以△ACD≌△E ... ...
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