5.2 第2课时 勾股定理的应用 素养目标 1.结合实际,利用勾股定理解决求直角三角形的边长问题. 2.在应用过程中掌握“转化”思想,在没有直角三角形的图形中,通过构造出直角三角形再运用勾股定理解决实际问题. 重点 运用勾股定理解决实际问题. 【自主预习】 1.在直角三角形中,两条直角边的长都为1,则斜边有多长 2.在数轴上表示实数的点. 1.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行( ) A.7米 B.8米 C.9米 D.10米 2.如图,一架梯子斜靠在墙上,梯子顶端与墙角的距离AC为4米,梯子的长为5米,则梯子底端与墙角的距离BC为 米. 3.如图,长为24 cm的橡皮筋水平放置,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升16 cm至点D,则橡皮筋被拉长了 cm. 【合作探究】 知识点：勾股定理的应用 阅读课本本课时的全部内容,回答下列问题. 1.“思考”中梯子的底部从点C移到点C',则梯子的顶部从点A移到点 .所以梯子底部移动的距离是线段CC'的长,而顶部移动的距离是线段 的长. 2.图5.2-8中的直角三角形有两个,分别是 和 ,梯子的长是两个直角三角形的斜边 和 ,它们的长度 ,所以两个直角三角形的两直角边的平方和 . 3.“例3”解决的是已知一边B'C,并且能找出另外两边AB',AC之间的关系 ,这样,只要设 个未知数,根据 即可得出方程,并解决问题. 在斜边长不变的两个直角三角形中,两直角边的平方和 . 1.如图,这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°.警示牌的高CD为 米.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73) 2.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险 是否需要暂时封锁 请通过计算进行说明. 【方法归纳】本题的条件中含有60°,90°两个特殊角,但这两个特殊角都没有在直角三角形中,因此我们就用这两个特殊角构造一个或多个 三角形,以便用 定理去求相应边长. 方程思想在勾股定理中的应用 例 如图,铁路上A,B两站相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB上建一个货运站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少千米处 变式训练 (数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 ”大意:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC长8尺,求绳索AC的长. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.. 2. 自学检测 1.D 2.3 3.16 【合作探究】 知识生成 知识点 1.A' AA' 2.Rt△ABC Rt△A'BC' AC A'C' 相等 相等 3.AC=AB-BC=AB'-AC 一 勾股定理 归纳总结 相等 对点训练 1.2.9 2.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以根据勾股定理得AB=500米.因为AB·CD=BC·AC,所以CD=240米.因为240米<250米,所以有危险,所以AB段公路需要暂时封锁. 【方法归纳】 直角 勾股 题型精讲 题型 例 解:因为C,D两村到E站的距离相等,所以DE=CE. 因为DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B, 所以∠A=∠B=90°, 所以AE2+DA2=DE2,BE2+CB2=CE2, 所以AE2+DA2=BE2+CB2,设AE=x km,则BE=AB-AE=(25-x)km. 因为DA=15 km,CB=10 km, 所以x2+152=(25-x)2+102, 解得x=10,所以AE=10 km. 答:E站应建在离A站10 km处. 变式训练 解:设AC=x尺,则AB=(x-3)尺. 因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°, 所以△ABC是直角 ... ...
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