（一）空间向量的运算律 a.空间向量的加法、减法及数乘运算： （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，. b.空间向量线性运算的运算律： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，.（其中，） （二）共线向量和共面向量 （1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使. （2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. （3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. （三）空间向量数量积的运算律 ，；（交换律）； （分配律）. （四）空间向量基本定理 （1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得. （2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. （五）空间向量运算的坐标表示 设，，则 ，， ，，. 空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示： 当时，，，； ； ； . 空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则. （一）点到直线的距离 向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得. （二）点到平面的距离 已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此. （三）异面直线所成的角 若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则. （四）直线与平面所成的角 直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则. （五）二面角 若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则. （一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 （1）空间中直线、平面的平行 ①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得. ②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则. ③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得. （2）空间中直线、平面的垂直 ①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则. ②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得. ③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则. （二）点到直线的距离 向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得. 点到平面的距离 已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此. 异面直线所成的角 若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则. 直线与平面所成的角 直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则. 二面角 若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则. ... ...
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