2025全国高中数学联合竞赛一试（PDF版，含解析）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025全国高中数学联合竞赛 一试试题（A卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.若1og(9x),log(27x),log2,(（3x)成等差数列，则正数x的值为 2.设集合A={1,2,3,…,100,B={a2+2a∈A小，则AUB的元素个数为 -1 3.设点P在椭圆： +之=1上，R,R为了，的两个焦点，线段P交椭圆 2025 号+二=1于点Q.若△rP阳的周长为8，则线段F阳的长度为 T2: 914 4.设函数(x)的定义域为R,g(x)=(x-I)f(x),h(x)=f(x)+x·若g(x)为奇 函数，h(x)为偶函数，则∫(x)的最大值为 5.若正整数k满足 sin20°，sin25° ∈R(i为虚数单位)，则k的最小值 c0s25 c0s20° 为 6。设T为任意四棱柱，在了的12条棱中随机选取两条不同的棱1,2，将事件 “(所在直线与12所在直线平行"发生的概率记为P(T)，则P(T)所有可能值为_ 7.平面中的3个单位向量a,b,c满足a.6=a·c]+[6.c(其中[x]表示不超过实 数x的最大整数)，则a+万+的取值范围是 8.将1,2,3，…，9排列为a,b,c,d,e,f,g,h,i，使得3个三位数abc,def,ghi之和等 于2025，则不同的排列方法数为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、 证明过屋或演算步骤 9.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，点集 r={(x,yy2=2x+2刘 若下中的3个不同的点M,P,2满足：M为P2的中点，且OP.O2=-2,求 点M的坐标。 10,(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均为2，P,2分别是棱AB,AC上 的动点（允许位于棱的端点），AP+A2=2,M为棱AD的中点，在△MP2中， MH为P2边上的高.求MH长度的最小值. C 11.(本题满分20分)设a为实数，m,n为正整数，且sinma·sinna≠0 1 1 证明： 1 X sinma sinna m.sinma.sinna+sinmna 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试（A卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次， 第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.若10g(9x),1og,(27x),1og2,(3x)成等差数列，则正数x的值为 答案：9. 解：设0gx三t,则2+4，子成等差数列，即2+1+十=23十 3 2 解得t=2,故x=3=9. 2.设集合A={L,2,3,,100},B={a2+2|a∈A,则AUB的元素个数 为 答案：194. 解：当a∈[0，oo)时，a2+2关于a严格递增，故B=4=100(X表示有 限集X的元素个数).又12+2=3>1,62+2=100，故A∩B=6. 所以AUB=A+B-A∩B=100+100-6=194. 3.设点P在稀圆T,:云十=1上，F,5为r,的两个焦点，线段FP交椭园 2025 2。+41于点D:若△EPO的周长为8，则线段2的长度为 答案：√14+1. 解：由于√25-20=V14-9,故F,F2是，与Γ2的公共焦点. 由椭圆的定义知PF+PF=10,2F+2F=2W14,即 P2+PF=10-l2F,l2F=214-2F. 所以10+214-22=|Pg+PF+|2F=8,即线段F2的长为V14+1. 4.设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-I)f(x),h(x)=f(x)+x.若g(x) 为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 答案：4 解：对任意x∈R, 专低，mna 所以(x-1)f(x)=(x+1)f(-x)=(x+I(f(x)+2x). ... ...