3.1 不等式的 基本性质 1.理解并掌握不等式的基本性质. 2.能用不等式的性质证明不等式. 3.能利用作差法比较两个数的大小. 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示. 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子 文字语言 符号表示 当a－b为正数时，称a＞b； a＞b ? a－b＞0 当a－b为零时，称a＝b； a＝b ? a－b＝0 当a－b为负数时，称a＜b. a＜b ? a－b＜0. 实数比较大小的基本事实 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： (1) 若a＝b且 b＝c，则 a＝c； (2) 若a＝b，则 a±c＝b±c； (3) 若a＝b，则 ac＝bc，????????＝ ???????? (c≠0). ? 问：不等式有哪些基本性质呢? 性质1 如果a>b，那么b
b，即a>b?bb，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a____c. 性质3 如果a>b，那么a＋c____b＋c. 性质4 如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc. 性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd. > > > < > > 不等式的性质 分析：要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0. 证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0， 即b－a＜0. 所以b＜a. 性质1 ：若 a ＞ b，则 b ＜ a. 若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c. 分析： 要证 a＞c，只要证 a－ c＞0. 证明 因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0. 由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0， 即a－c＞0. 因此a＞c. 性质2 ： 若 a＞b，则 a＋c＞b＋c. 分析：要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，即 a－b ＞ 0. 证明 因为a ＞ b，所以 a－b＞0. 又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b， 所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0. 故 a＋c ＞ b＋c. 表述：不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即 a ＋ b ＞ c ? a ＞ c － b. 性质3 ： 若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc. 证明 ac－bc＝(a － b)c. 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc； 当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc. 性质4： 表述：不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变. 若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d. 证明 由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c. 又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d. 于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d. 表述：两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向. 性质5： 若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd. 证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc. 因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd. 由性质 2，得 ac＞bd. 特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2. 以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论： 若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*). 表述：两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。 以上性质是求解和证明不等式的基础. 性质6： 若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d. 性质5： 性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论. 求解不等式 90－103t≥80 ，并用不等式的性质说明理由. ? 解：不等式 90－103t≥80两边同乘以3，得270－10t≥240. (不等式性质4) ? 两边同加上－270，得－10t≥240－270.(不等式性质 3) 即－10 t ≥－30. 两边同乘以－110，得 t≤3.(不式性质4) ? 例1： 1.解不等式 ... ... 
