3.2.2 双曲线的几何性质 课件（22页）

3.2.2 双曲线的几何性质 第3章 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义. 3.根据几何条件求双曲线的标准方程. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (±a，0)、(0，±b) (±c，0) (±b，0)、(0，±a) (0，±c) -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b 长半轴长为a，短半轴长为b(a＞b) 双曲线是否具有类似的性质呢？ F1 F2 x O y 问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？ 范围： x≤-a或x≥a，且y∈R. 因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域. -a a ∴x≤-a或x≥a，且y∈R. 由双曲线的标准方程????2????2?????2????2=1可知????2????2?????2????2＞0， 即(?????????????????)(????????+????????)＞0， 从而?????????????????＞0????????+????????＞0或?????????????????＜0????????+????????＜0， ∴双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内， 也就是以直线????=????????????和????=?????????????为边界的平面区域内. ? 思考：根据双曲线的标准方程 ，双曲线的范围还受到怎样的限制？ ①P(x,y) P1(x,-y) x轴 方程不变，点在双曲线上 问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性. F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) P1 P2 P3 方程不变，点在双曲线上 ②P(x,y) P2(-x,y) y轴 ③P(x,y) P3(-x,-y) 原点 方程不变，点在双曲线上 综上，双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心. F1 F2 x O y (x,y) (x,-y) (-x,-y) (-x,y) P1 P2 P3 F1 F2 x O y 在 中，令y=0，得x=±a， A1 A2 B1 B2 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 双曲线和x轴有两个交点 双曲线的顶点 实轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. 虚轴 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 思考交流：观察图中双曲线x2-4y2=1在第一象限的图形，可发现如下情形：随着x的增大，y随之增大，当x比较大时，该图形逼近于直线y=12x，且总在 该直线的下方.双曲线的这种特征，能否从它在第一象限的方程 y=12????2?1(x≥1)和直线方程y=12x的联系中给出解释呢？ ? 双曲线x2-4y2=1上的点P(x,y)在第一象限时， 当 时， 且无限逼近于1，y无限逼近于 也就是说，当 时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无限逼近于直线 因此，形象地称直线 为双曲线x2-4y2=1的渐近线， 根据双曲线的对称性可知 也是双曲线x2-4y2=1的渐近线. 一般地，对于双曲线 当双曲线上的点P(x,y)在第一象限时，有 当 时， 且无限逼近于1， ∴点P(x,y)在直线 的下方，且y无限逼近于 即当 时，点P(x,y)无限逼近于直线 一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线. ∵c＞a＞0， 我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示. 问题3： 决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，你知道这是为什么吗？ ∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}方程 x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 离心率 渐近线 {5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}方程 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 离心率 渐近线 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 提醒 (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为y＝±x. (3)求 ... ...