第二章 增分微课2 抽象函数（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

增分微课2　抽象函数 例1　D　[解析] 由f(x+y)=f(x)·f(y),取y=x,得f(2x)=[f(x)]2,又f=2,所以f(4)=[f(2)]2=[f(1)]4==28=256.故选D. 变式题　D　[解析] 令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;令a=1,b=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+1=0,又f(-1)=3,所以f(1)=-4;令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)-1=-9;令a=1,b=2,得f(3)=f(1)+f(2)-2=-15.故选D. 例2　解:(1)证明:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0, ∴f(-1)=0,∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数. (2)证明:设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f(x1)+f-f(x1)=f, ∵x2>x1>0,∴>1,∴f>0,即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)0,设z=x+y>y,因为当x>0时,f(x)>2,所以f(z)-f(y)=f(x)-2>0,即f(z)>f(y),所以f(x)在R上为增函数,故D错误.故选ABC. 例3　A　[解析] 方法一:令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),即f(x)是周期为6的周期函数.因为f(0)=2,f(1)=1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(k)=[f(1)+f(2)+…+f(18)]+[f(19)+f(20)+f(21)+f(22)]=f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3. 方法二:由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),联想到余弦函数和差化积公式 cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y.设f(x)=acos ωx,则由方法一中f(0)=2,f(1)=1知a=2,2cos ω=1,解得cos ω=,不妨取ω=,所以f(x)=2cosx,则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cosxcosy=f(x)f(y),所以f(x)=2cosx符合条件,因此f(x)的最小正周期T==6,且f(2)=-1,f(3)=-2,f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 变式题　B　[解析] 由题得f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=y=0,有2f(0)=[f(0)]2,则f(0)=0或f(0)=4.若f(0)=0,则令x=1,y=0,有2f(1)=f(1)f(0),得f(1)=0,与已知f(1)=2矛盾,所以f(0)=4.令x=y=1,有f(2)+f(0)=[f(1)]2,则f(2)+4=×(2)2=6,得f(2)=2.令x=2,y=1,有f(3)+f(1)=f(2)f(1),得f(3)=0.令x=3,y=2,有f(5)+f(1)=f(3)f(2),得f(5)=-2.令x=5,y=2,有f(7)+f(3)=f(5)f(2),得f(7)=-2.令x=7,y=2,有f(9)+f(5)=f(7)f(2),得f(9)=0.令x=9,y=2,有f(11)+f(7)=f(9)f(2),得f(11)=2.令x=0,有f(y)+f(-y)=f(0)f(y),得f(-y)=f(y).令x=3,有f(3+y)+f(3-y)=f(3)f(y)=0,即f(3+y)=-f(3-y),所以f(6+y)=-f(-y)=-f(y),故f(12+y)=-f(6+y)=f(y),所以f(x)的周期为12,所以f(2025)=f(12×168+9)=f(9)=0.故选B. 例4　B　[解析] 因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,所以f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>5+8=13,f(7)>8+13=21,f(8)>13+21=34,f(9)>21+34=55,f(10)>34+55=89 ... ...