1.2.1 直线的点斜式方程 课件（20页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

1.2.1 直线的点斜式方程 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题. 给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？ 问题1：已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一. (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(1，2)； (3)已知l2的斜率为2； (4)已知l2的斜率为2且过点B(2，3). 有无数条 是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1 唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有 ＝2， 即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都在方程y－3＝2(x－2)上， 而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上. (3)已知l2的斜率为2； (4)已知l2的斜率为2且过点B(2，3). 有无数条 问题2：过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程如何表示？ y－y0＝k(x－x0) 01 曲线与方程 一般地， 则称方程F(x，y)=0为曲线C的方程，曲线C称为方程F(x，y)=0的曲线. (1)当点P在曲线C上，其坐标(x，y)满足方程F(x，y)=0; (2)以方程F(x，y)=0的解为坐标的点(x，y)都在曲线C上， 02 直线的点斜式方程 设过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为 ； 由直线上一点及其斜率确定的方程叫直线的点斜式方程，简称点斜式. {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}斜率 存在 不存在 ( α = 90°) 点斜式 特殊情况 图　 示 k = 0 时：l 与 x 轴平行或重合 P0 (x0，y0) y0 x O y l：y = y0 x O y l：x = x0 P0 (x0，y0) x0 k 不存在时：l ⊥ x 轴，不能用点斜式求方程 y – y0 = k (x – x0) 无 若直线 l过点P0(0，b)，且斜率为 k； 直线l与y轴的交点为(0，b)，代入点斜式方程，得： y-b=k(x-0)， 点斜式的特殊情形： O x y (0，b) l (a，0) 即： y=kx+b. 思考1：如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间有什么不同？ l1，l2，l3，l4任意两条相对于坐标轴(比如x轴)的倾斜程度都不一样. 思考2：观察图形，直线的倾斜程度和什么有关？ 03 直线的斜截式方程 当直线 l 既不是 x 轴也不是 y 轴时： 若 l 与 y 轴的交点为(0，b)，则称 l 在 y 轴上的截距为b. 一条直线在y轴上的截距简称为截距. 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定的方程 y = kx + b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. O x y (0，b) l (a，0) 例1 根据条件写出下列直线的方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)经过点D(1，1)，且与x轴垂直. 解：(1)由点斜式方程可知直线方程为y－3＝3[x－(－4)]，即3x－y＋15＝0. (2)由题意知直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的方程为y－4＝－[x－(－1)]，即x＋y－3＝0. (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)经过点D(1，1)，且与x轴垂直. (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在. 由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1. 归纳总结 利用点斜式求直线方程的步骤： (1)确定直线要经过的定点(x0，y0); (2)明确直线的斜率k; (3)由点斜式直接写出直线方程. 注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在，当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x=x0. 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan ... ...