1.3.2 两条直线的垂直 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.能利用两条直线垂直进行应用． 两条直线l1，l2垂直的情况有哪几种？试画图说明. 2种，如下图所示. (1)若直线l1，l2有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2. (1)若直线l1，l2有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1⊥l2. (2)若直线l1，l2有一条直线的斜率都存在，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角. 不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋????2，从而k2=tan α2=tan(α1+????2)=?1tan ????1=?1????1 ， 即k1k2＝-1. ? α1 α2 反之，如果k1k2＝-1，那么l1⊥l2. 01 两条直线的垂直 (1)当两条直线l1，l2斜率均存在时，方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2?k1k2＝-1. (2)当一条直线斜率不存在，另外一条直线斜率为0?l1⊥l2. 例1 判断下列两直线是否垂直. (1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)； (2)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (3)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0. 解：(1)显然直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2. (2)∵直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝3?220?10=110，∴k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. ? 例1 判断下列两直线是否垂直. (3)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0. (3)由题可知：直线l1：y＝12x－72，直线l2：y＝-2x＋5， ∴直线l1的斜率k1＝12，直线l2的斜率k2＝－2， ∴k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. ? 归纳总结 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步. (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断. 例2 求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解：(方法一)设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝12， 又∵直线l经过点A(2，1)，∴直线l的方程为y-1＝12(x－2)，即x－2y＝0. (方法二)设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)，∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. ? 归纳总结 (1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在. (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 例3 在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01 m) 解：如图，记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB.灯罩轴线与道路中线交于点C，灯柱的高为h m．以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系． 则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5，0)， ∵∠OBA＝120°，∴直线BA的倾斜角为30° ， 从而点A的坐标为(2.5cos 30°，h＋2.5sin 30°)， 即(1.253，h＋1.25)， ∵CA⊥BA，∴kCA＝?1????????????＝－1tan 30°＝－3， 从而直线CA的方程是y－(h＋1.25)＝－3(x－1.253)， 又灯罩轴线CA过点C(11.5,0)， 则－(h＋1.25)＝－3(11.5－1.253)，解得h≈14.92， 故当灯柱高约为 14.92 m时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线． ? 例3 在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01 m) 1 ... ...
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