第十章 第62讲 二项式定理（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

第62讲　二项式定理 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(1)n+1 2.k+1　3.an-kbk 4.(2)①　②　 (3)①2n　②2n-1 【对点演练】 1.160　[解析] (1+2x)6的展开式的通项为 Tr+1=16-r(2x)r=2rxr,令r=3,则展开式中x3的系数为×23=×8=160. 2.2　[解析] 设f(x)=,则由题意得f(1)=(a-1)9=1,解得a=2. 3.672　[解析] 由题意得2n=128,则n=7,则的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r27-rx7-2r,令7-2r=3,可得r=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2×25=672. 4.10n-1　[解析] ·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32=·(32)n+·(32)n-1+·(32)n-2+…+·(32)1+·(32)0-·(32)0=(32+1)n-1=10n-1. 5.6　[解析] (x+y)20的展开式的通项为Tr+1=x20-r(y)r=x20-ryr·,当为整数时,系数为有理数.因为0≤r≤20,且r∈N,所以r=0,4,8,12,16,20,所以展开式中系数为有理数的项共有6项. 6.3　[解析] 令x=1,得展开式各项系数的和为4n,又各二项式系数的和为2n,所以4n-2n=56,即(2n)2-2n-56=0,可得2n=8,故n=3. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)先求出展开式的通项,令x的指数等于0,求得r=3,即可求解.(2)写出二项式展开式的通项,由条件列出方程,即可得到结果. (1)20　(2)±1　[解析] (1)的展开式的通项为Tr+1==36-2rx6(r-3),r=0,1,…,6,令6(r-3)=0,可得r=3,所以常数项为30=20. (2)(+a)6的展开式的通项为Tr+1=()6-rar=ar,因为x的系数与x2的系数相等,所以a4=a2,即a4=a2,所以a2(a2-1)=0,又a≠0,所以a=±1. 变式题　(1)B　(2)D　[解析] (1)的展开式的通项为Tr+1=(x2)3-r=x6-3r,令6-3r=0,可得r=2,所以T3=×=,故选B. (2)的展开式中第7项为T7=(x2)n-6=(-a)6x2n-14,由题意得2n-14=0,(-a)6=7(a>0),所以n=7,a=1,则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k,k=0,1,2,…,7,令∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中有理项共有3项.故选D. 例2　[思路点拨] (1)根据二项式系数的性质得n=7,再根据二项展开式的通项即可求得指定项的系数.(2)根据二项式定理写出展开式的通项,假设第r+1项的系数最大,利用最大系数大于等于前一项系数和后一项系数建立不等式组求解. (1)B　(2)5　[解析] (1)因为(x-2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,所以=,则n=7.(x-2y)7的展开式的通项为Tr+1=x7-r(-2y)r,令r=2,则展开式中x5y2的系数为(-2)2=84.故选B. (2)展开式的通项为Tr+1=xr,0≤r≤10,且r∈Z,设展开式中系数最大的项为第r+1项,则需要满足解得≤r≤,又r∈Z,所以r=8,即展开式中,各项系数中的最大值为=5. 变式题　(1)240x6　(2)　[解析] (1)由题可得+1=4,解得n=6,所以T5=(-2x2)4=240x6. (2)∵+=45,∴n=9,的展开式的通项为Tk+1= x-(9-k)=2k-9,令=0,得k=6,∴展开式中的常数项为·2-3=. 例3　[思路点拨] (1)根据展开式的特点,令x=0,1或-1,分析各选项即可.(2)对已知等式求导并赋值构造出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5即可. (1)BCD　(2)240　[解析] (1)令x=0,则a0=1,A选项错误;令x=1,则(-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=(-1)5-a0=-2,B选项正确;(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=×15-r×(-2x)r,所以a4=(-2)4=80,C选项正确;令x=-1,则35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,所以a1+a3+a5=×[a0+a1+a2+a3+a4+a5-(a0-a1+a2-a3+a4-a5)]==-122,D选项正确.故选BCD. (2)(3x-4)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,对式子两边同时求导,得15(3x-4)4=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+4a4(x-1)3+5a5(x-1)4,令x=2,得15×(3×2-4)4=a1+2a2+3a3+4a4+5a5=240. 变式题　(1)　(2)0　[解析] (1)令x=1,得(1+2)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=243,令x=-1,得(-1+2)5=-a5+a4-a3+a2-a1+a0=1,则a5+a3+a1=×[(a5+a4+a3+a2+a1+a0)-(-a5+a4-a3+a2-a1+a0)]==121,且a4+a2+a0=×[(a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a5+a4-a3+a2-a1+a0)]==122,故=. (2)令x=-,可得0=a0-+ ... ...