2025-2026学年中国人民大学附属中学高一上学期第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，则( ) A. B. C. D. 2.已知命题，方程至少有解，则为( ) A. ，方程无解 B. ，方程至多有解 C. ，方程至多解 D. ，方程无解 3.“”是“关于的方程有实数根”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如果，是实数，那么“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设集合，则是的真子集的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 6.若，，则下列命题正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.已知，则的值为( ) A. 或 B. C. 或 D. 8.若命题是假命题，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.记关于的三个方程分别为： ； ； ，其中是正实数，且满足． 则下列选项中，能推出方程无实根的是( ) A. 方程有实根，且有实根 B. 方程有实根，且无实根 C. 方程无实根，且有实根 D. 方程无实根，且无实根 10.设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论： 存在的两个不同子集，使得任意都满足且； 任取的两个不同子集，对任意都有； 设，对任意，都有． 其中正确结论的个数为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.已知，，则 ． 12.若关于的方程组有无穷多组解，则的值为 13.若关于的方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 14.已知集合的子集不超过个，则实数的取值范围为 ． 15.设是非空数集，若对任意，都有，则称具有性质给出以下命题： 若具有性质，则可以是有限集； 若具有性质，且，则具有性质； 若具有性质，则具有性质； 若具有性质，且，则不具有性质． 其中所有真命题的序号是 ． 三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知全集，集合，． 若，求实数的取值范围； 若，均有，直接写出实数的取值范围； 若，且，直接写出实数的取值范围． 17.本小题14分 已知关于的方程组，其中． 当时，求该方程组的解集； 若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围； 记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值． 18.本小题14分 设为正整数，若满足： ； 对于，均有． 则称具有性质． 对于和， 定义集合． 设，若具有性质，写出所有可能的及相应的； 设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； 选做设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.由题意，． ， 当，即，即时，符合题意； 当，即时，由，得或，得． 综上，实数的取值范围为． 若，均有，时，满足题意， 时，，解得，所以， 综上，，即的取值范围是； 若，且，它的否定是，， 先求，则时的范围， 这样若，即时，满足题意， 在时，或，或，所以， 综上或， 因此原命题，且，为真时，的范围是即． 17.当时，，解得或 故方程组的解集为 ，消去得，， ， 故的取值范围为； 原式， 解得，或舍去 综上所述，． 18.由定义可知，或或或或或， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，． 假设存在和均具有性质，且， 则的取值分别为，，，，，，即， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶． 又因为为奇数，而为偶数， 所以，与奇偶性不同，假设不成立． 综上，不存在均具有性质的和，满足． 不妨设满足题意的和构成一个数表： 交换数表中两行，可得数表： 调整数表各列的顺序，使第一行变为， 设第二行变为， 令，则具有性质，且． 假设与相同， 则． 不妨设，则有，故． 因为，所以． 因为，所以 ... ...
