(
课件网) 1.4 充分条件与必要条件 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 （一）复习回顾 创设情境 初中学过的命题： 一般地，在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 命题的形式:“若p,则q”或者“如果p,那么q”. 【答案】命题（1）、（4）为真命题，命题（2）、（3）为假命题 对于命题，除了真假命题的说法，还有其他的数学说法吗？ 练习 判断下列命题是真命题还是假命题. (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形. (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等. (3)若x24x+3=0,则x=1. (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b. 【引入问题】 （二）研讨新知，典型示例 1.充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件. 命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 上面练习中的四个命题均为“若p,则q”的形式,命题(1),(4)为真命题,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件. 命题(2),(3)为假命题,所以p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件 (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; (4)若x2=1,则x=1; (5)若a=b,则ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数. 解 (1)这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件. (4)由于( 1)2=1,但 1≠1,pq,所以p不是q的充分条件. (5)由等式的性质知,p q,所以p是q的充分条件. (6) 为无理数,但 × =2为有理数,pq,所以p不是q的充分条件. 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件 (1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; (4)若x=1,则x2=1; (5)若ac=bc,则a=b; (6)若xy为无理数,则x,y为无理数. 2.充要条件 思考 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题 (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0; (4)若A∪B是空集,则A与B均是空集. 提示 上述思考中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题. 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q又有q p,就记作p q. 此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 例3 下列各题中,哪些p是q的充要条件 (1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0). 1.已知以下“若p,则q”形式的命题: ①若p:|x|=|y|,则q:x=y; ②设a,b是实数,若p:a+b>0,则q:ab>0; ③若p:x∈A={x|0
