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课件网) 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 第四章 指数 数学 学习目标 ①认识实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)的含义． ②了解指数幂的拓展过程，掌握实数指数幂的运算性质． 学习重难点 重点： 掌握并运用实数指数幂的运算性质，能利用已知条件求值. 难点： 理解无理数指数幂的意义. 1.分数指数幂的意义： （1）=_____ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （2）＝_____ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； （3）0的正分数指数幂等于____； （4）0的负分数指数幂_____. 0 无意义 学习前奏 2．有理数指数幂的运算性质 (1)＝_____ (a>0，r，s∈Q) ； (2)＝____ (a>0，r，s∈Q)； (3)＝_____ (a>0，b>0，r∈Q). 学习前奏 问题1 上面我们规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，即将(a＞0)中指数的取值范围拓展到了有理数。那么，当指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用？ 设置悬念 问题2 无理数既然存在，无理数幂也应该存在，是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点. 问题3 无理数是如何发现的？请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置. 设置悬念 希帕索斯(Hippasus,公元前5世纪)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即)永远无法用最简整数比来表示(不可公度比)，从而发现了第一个无理数. 当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的有理数指数幂都趋向于同一个数. 1.无理数指数幂定义：一般地，无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 归纳新知 【合作探究】根据的不足近似值和过剩近似值，利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你能有什么发现？ 观察下表：的是 否表示一个确定的实数？ 的过剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 由上可以看出： 可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近. 思考 任何正数的实数指数幂是一个确定的实数吗？ 结论拓展: 无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂（a>0）中的指数的取值范围从整数逐步拓展到实数，实数指数幂是一个确定的实数. 2．实数指数幂的运算性质 (1)； (2)； (3) 归纳新知 计算下列各式: (1). 【例1】 解 （1）. (2) （1）（ ） A． B．5 C． D．25 （2）若，化简=_____. C 【变式训练1】 将下列根式化成有理数指数幂的形式： (； ； (3). 【例2】 解 （1）原式=. (2)原式=. (3)原式=. 把下列根式化成分数指数幂： （1）； （2）. 【变式训练2】 （1）. （2）. 根式与分数指数幂互化的规律 1)根指数 分数指数的分母被开方数(式)的指数 分数指数的分子 2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 【反思感悟】 计算： (1) ; (2); (3). 【例3】 解 （1）原式= =. (2)原式= =. (3)原式=. 指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 【反思感悟】 若＝3，＝4，则＝（ ） A．﹣1 B．1 C． D． C B 已知正数x满足，则＝（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例题4】 【变式训练3】 利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题的思路 (1)将条件中的式子用待求式表示出来， ... ...
