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课件网) 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 人教A版2019高中数学必修第一册 基本不等式及其推导 前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有： 特别地，如果，我们用分别代替上式中的 ，可得： 当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，等号成立 通常称为基本不等式，又叫均值不等式.其中， 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数的几何平均数 基本不等式及其推导 【问题】上述均值不等式是如何推导的？ 【证法一】当时，，由重要不等式可得： ， ，所以 【证法二】当然我们也可以利用倒推法： 要证，去分母并调换方向，相当于证；移项，相 当于证；配方，相当于证.而此式显然成 立.当且仅当时，等号成立.把这个过程倒过来，就是证明的过程. 基本不等式及其推导 （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形式： ① ② 基本不等式链 高中数学需要掌握的几个公式 完全立方公式 完全立方公式 立方和公式 立方差公式 基本不等式的推广 ①三元不等式： 当为正实数时， . 当且仅当时成立 ②n元基本不等式： 当且仅当时成立 基本不等式的几何意义 【答】可证，因此CD=，由于CD 小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为： 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ A B D C E 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时， 等号成立. 利用基本不等式求最值 题【1】 【解】因为，所以 已知，求的最小值. 本题可拓展为当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值是2 利用基本不等式求最值 题【2】已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 【证明】所以 （1）等于定值P时， ，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 （2）时， ，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 利用基本不等式求最值 【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等. 一正：各项必须为正 二定：各项之和或各项之积为定值 三相等：必须验证取等号时的条件十分具备 【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. 【3】基本不等式求最值模型：若，，则有 ，当且仅当时等号成立 ①当时，，， 当且仅当时，等号成立. 什么是最值定理？ ②当时，， 当且仅当时，等号成立. 练习①：已知，求证：. 【证明】 ，即. 练习②：已知都是正数，且，求证： （1） （2） 【证明】（1）∵ ， ，∴ ， ∴ ， 由于，等号取不到，所以 （2）∵ ， ， ，∴， ∴ ，∴ ， ∴ 本题可拓展到求，等同类式子的最小值. 练习③：取何值时，取得最小值？最小值是多少？ 【解】由题意∵ ， 所以， ∴, 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为 基本不等式的实际应用 【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长 为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？ 【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以米 当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米 基本不等式的实际应用 【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和 宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且 所以为平方米，根据基本不等式， ，即 当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米. 基本不等式的实际应用 【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状 ... ...
