【新教材】专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一讲）（原卷版+解析版）2025-2026八年级上册数学同步讲练【浙教2024版】

中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.4等腰三角形的判定定理九大题型（一课一讲） ①等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 ②等边三角形的判定定理： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 题型一：根据等角对等边证明等腰三角形 【例题1】已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 【变式训练1-1】(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·月考)如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式训练1-2】(24-25八下·陕西咸阳礼泉县赵镇初级中学·期中)如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-3】如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-4】(24-25八下·陕西西安理工大学附属中学·期中)如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练1-5】(2025九·山东省济南市·一模)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ... ...