(
课件网) 3.2.2 课时2 双曲线简单几何性质的应用 第3章 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长问题. 3.能用双曲线的性质解决问题. 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况. 直线与双曲线的位置关系 y O 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：2个交点 x (交于左支/右支/异支) 相交：1个交点 (与渐近线平行) O x y O x y O x y 判断直线与双曲线的位置关系(代数法) O x y 例1 已知直线 y=kx-1与双曲线x2-y2=4，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线(1)无公共点； (2)有2个公共点；(3)只有1个公共点. 解：联立方程组，消y得(k2－1)x2－2kx＋5＝0. (1)无公共点时：，解得或k＞. (2)有2个公共点时：，解得＜k＜且k≠±1. (3)只有1个公共点时：或k＝±1，解得或k＝±1. 考虑二次项系数A是否为0 A≠0时才能考虑△ A=0时直线与渐近线平行 相切 相交于一点 归纳总结 (1)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论： 直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (2)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 例2 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，求弦AB. 解：双曲线C：,则c2＝4， ∴右焦点为F(2，0)， 由题意有过F的直线斜率存在，∴设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立，化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0， ∴xA＋xB＝，xAxB＝， ∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8， ∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8， 解得k2＝2， ∴xAxB＝＝10， 则|AB|＝＝＝6. 例2 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，求弦AB. 归纳总结 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似. 解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 例3 已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=2x，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程； (2)经过点M(1，4)的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程. (2)易知直线l的斜率存在，故可设为k， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=8. 所以直线l的方程为y-4=x-1，即x-y+3=0， 经检验直线x-y+3=0与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以直线l的方程为x-y+3=0. 回顾本节课，回答下列问题： (1)解决直线与双曲线的位置关系时需要注意什么？ (2)解决中点弦问题常用什么方法？ 1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1) A C 3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( ) A.(－2，2) B.[－2，2) C.(－2，2] D.[－2，2] 4.直线l：y＝k(x－2)与双曲线C：x2－y2＝2的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为( ) A.k≤－1或k≥1 B.－1≤k≤1 C.－
