2025-2026学年上海市嘉定区第二中学高二上学期第一次质量检测考试数学试卷（PDF版，含答案）

2025-2026 学年上海市嘉定区第二中学高二上学期第一次质量检测考 试数学试卷 一、选择题（本大题满分 18 分，第 1,2 题每题 4分，第 3,4 题每题 5 分) 1.已知两条不重合的直线 、 ，两个互不重合的平面 、 ，给出下列命题： ①若 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，则 ⊥ ；②若 // ， // ，且 // ，则 // ； ③若 ⊥ ， // ， ⊥ ，则 ⊥ ；④若 ⊥ ， // ，且 // ，则 // ． 其中正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 2.在 中，若 = ，则 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，在 中，点Р在 所在平面外，点 是 在平面 上的射影，且点 在 的内部．若 ， ， 两两垂直，那么点О是 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 4.《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？ 答曰：四万六千五百尺”.所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑 堵”， = = 2, 1 = 4, 是 1 1的中点，过 , , 三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一 个为三棱台，给出下列四个结论： ①过 , , 三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形 第 1页，共 9页 17 51 ②该三棱台的表面积为 2 + 6 2 + 2 ③二面角 21的正切值为 4 81 ④三棱锥 的外接球的表面积为 4 π 其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题满分 54 分，第 5-10 题每题 4 分，第 11-16 题每题 5 分) 5.复数(1 + 2 )(1 3 )的虚部为 ． 6.已知 sin = 13，则 cos + π 2 = ． 7.已知圆柱底面圆的周长为 2 ，母线长为 4，则该圆柱的体积为 ． 8.直线 = 与函数 = tan3 的图象的相邻两个交点的距离是 ． 9.如图是水平放置的 的斜二测直观图，已知 = 1， = 3，则 边的实际长度为 ． 10.若一个圆锥的高为 2，侧面积为 2 2π，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 ． 11.已知长方体 1 1 1 1的长、宽、高的和为 384， 1的长为 366，则该长方体的表面积为 ． 12.已知正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为 1，高度为 2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点 爬到点 1 的最短距离是 ． 13.在四面体 中， = ， , 分别为 , 的中点，若异面直线 与 所成的角为 60°，则异面直 线 与 所成的角为 ． 14.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百 姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台 1 1 1 1， = 2， 1 1 = 4，侧面面积为 12 3，则该正四棱台的体积为 ． 第 2页，共 9页 15.如图，圆锥型容器内盛有水，水深 2cm，水面直径 3cm 放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁 球的体积为 cm3． 16.在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 2，三棱锥 外接球的表面积为 16π，则二 面角 正切值的最小值为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 13 分) 已知向量 = (2,3)， = ( , 1)， = (2,1)． (1)若 ， 所成角为钝角，求 的取值范围； (2)若 ⊥ ，求 在 上的投影向量(结果用坐标表示)． 18.(本小题 15 分) 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， sin +2sin cos ， ，且 = 2sin ． (1)求 的大小； (2)若 = 2 2， 的面积为 2 3，求 的周长． 19.(本小题 16 分) 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， // , ⊥ , = = 1, = 2, ⊥平面 ，四棱锥 体积为 1． (1)求点 到平面 的距离； (2)求平面 绕直线 旋转一周所得的几何体的体积． 20.(本小题 17 分) π 已知函数 ( ) = sin( + ), > 0, > 0, | | < 2 的图象，如图所示： 第 3页，共 9页 (1)求 ( )的解析式； (2)若 ( ) = ( )( > 0) π π在 2 , 3 上是严格增函数，求实数 的最大值． (3 ... ...