2025-2026学年黑龙江省双鸭山市部分学校高二（上）段考数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图：在平行六面体中，为，的交点若，，，则向量( ) A. B. C. D. 2.已知，若，则的值为( ) A. B. C. D. 3.直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 4.设正四面体的棱长为，是的中点，则的值为( ) A. B. C. D. 5.已知直线：与：，则下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当时，与重合 C. 当时， D. 当时，则与交于点 6.已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为( ) A. B. C. D. 7.在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.过定点的直线与过定点的直线交于点与、不重合，则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.设直线的方程为，则下列说法正确的有( ) A. 直线的斜率为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 11.正方体的棱长为，，且下列结论正确的是( ) A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_____． 13.直线：经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是_____． 14.在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，设，． 求用表示； 求直线和夹角的正弦值． 16.本小题分 已知直线：，：． 求经过点且与直线垂直的直线方程； 求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，． 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 18.本小题分 已知直线：． 若直线垂直于直线：，求实数的值； 求证：直线经过定点； 当时，求点关于直线的对称点的坐标． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． 求证：． 求线段中点到平面的距离． 线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.由、分别是、的中点，可得，， 所以； 因为，， ，， 所以， 根据和都是等边三角形，可得， 设直线和的夹角为，则，可得． 16.由直线，可得斜率为， 故可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线的截距都不为时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 综上所述：所求直线方程为或． 17.解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由，，得，，，，，，，，，， 设面的法向量为． 则取，则， 设与平面所成角为，则． ，， 点到平面的距离． 18.解：因为， 直线：，直线：， 所以， 解得，故实数的值为． 证明：因为直线：， 即， 所以 解得， 所以直线恒过定点． 解：因为， 所以直线：． 设点关于直线的对称点为 则线段的中点坐标为， 所以 解得 所以点关于直线的对称点的坐标为． 19.证明：由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． ... ...
