3.2.1基本不等式的证明（教学课件(共26张PPT)）数学苏教版2019必修第一册

(课件网) 3.2.1 基本不等式的证明 第三章 不等式 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解基本不等式的内容及证明 教学难点： 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 理解基本不等式的内容及证明； 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； 能初步运用基本不等式证明简单的不等式。 课程目标 学科素养 直观想象：理解基本不等式的内容及证明； 逻辑推理：能初步运用基本不等式证明简单的不等式； 数学运算：能熟练运用基本不等式比较两个实数的大小。 新知引入 不等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) a>b?bb，b>c?a>c.?； 性质3(可加性) 如果a>b，那么a+c>b+c?； 性质4(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d； 性质6（同向同正可乘性） 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 性质7（同乘方性） 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N?,n≥2). ? 新知引入 情境1：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 ???? .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 ???? 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 ????. 那么如何合理地表示物体的质量呢? ? 以 ????＝????＋????2 表示物体的质量. 这样的做法合理吗? ? 设天平的两臂长分别为 ????1，????2，物体实际质量为 ????， 根据力学原理有 ????1???? ＝ ????2????，????2???? ＝ ????1????. 将上述两个等式的两边分别相乘，得????1????2????2＝????1????2????????， 所以 ????＝????????. ? 新知引入 对于正数 ????，????，我们把 a＋b2 称为 ????，???? 的算术平均数， ab 称为????，???? 的几何平均数. ? 思考1：两个正数 ????，???? 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? ? 我们可以从哪些方面研究算数平均数和几个平均数之间的大小关系呢？你能证明它吗？ 新知探究 ????+????2 ? ???????? ? 2 ? 8 4 ? 4 ????（????>0） ? 9???? ? 6????（????>0） ? 6???? ? 5 4 4 4 5???? ? 3???? ? 6???? ? 6???? ? 问题1：请填写下列表格，尝试再取几个????，????的值，计算????+????2 和?????????，观察数值的大小，你有什么发现？ ? 新知探究 问题2：当????＞0，????＞0时，我们可以尝试作出长度为ab和a＋b2的两条线段，再比较这两条线段的长. ? 如图，????????是圆的直径，点????是????????上一点，????????=????，????????=????.过点????作垂直于????????的弦????????，连接????????，????????.半径????????=_____，则????????=_____ ? a+b2 ? ab ? ????????与????????大小关系怎么样？ ? ????????≥???????? ? a+b2≥???????? ? 几何意义： 半径不小于半弦长 当且仅当点????与圆心重合时取等. ? 新知探究 证明： （作差法） ∵????>0，????>0 ∴????+????2?????????=?????2????????+????2=????2?2????????+????22=?????????22≥0 ∴ ????+????2 ≥ ????????,当且仅当????=????时取得等号 ? 思考：你能用前面所学的知识尝试证明a+b2≥????????吗？ ? 新知探究 思考：你能用前面所学的知识尝试证明a+b2≥????????吗？ ? （分析法/逆推法） 要证 ab≤a+b2，① 只要证 2ab≤a+b，② 要证②，只要证 2ab?a?b≤0. ③ 要证③，只要证 ?(a?b)2≤0. ④ 要证④，只要证 (a?b)2≥0. ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立. ? 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 新知探究 思考：你能用前面所学的知识尝试证明a+b2≥????????吗？ ? 证明： （综合法） ∵(a－b)2≥ ... ...