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课件网) 勾股定理 湘教·数学八年级上册 5.2 勾股定理及其逆定理 国际数学家大会 International Congress of Mathematicians 2002年8月 20-28日在北京召开 Beijing August 20-28,2002 会徽 （2）若：直角三角形的斜边为c，求会徽的面积？ （1）若直角三角形的直角边分别为a，b，求会徽的面积？ A B C D E F G H S 四边形ABCD＝ 4S△ABE＋ S四边形EFGH ＝ a2＋ b2 S四边形ABCD＝ c2 ＝ 4× ab＋（b－a）2 a b c 你有什么发现？ a2＋ b2＝ c2 史上证法最多的定理（约400种） 跳转勾股定理证法探究 情境导入 推进新课 探究直角三角形三边的关系 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 4 9 13 9 25 34 A,B,C的面积关系 SA+SB=SC 直角三角形三边关系 a2+b2=c2 猜一猜：直角三角形三边之间应该有什么关系？ 如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ c = _____ 5 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 勾 股 画一个边长为a + b的正方形，将其分割成4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为c，如图所示. 由此，你能探索出a2 + b2 = c2 这一结论吗？ 如图，将这个边长为a + b的正方形分割，得到4个小直角三角形和一个四边形，小组探究有哪些方法？ c b a a2 +b2=c2 几何 代数 如何探究？ c b a a2 +b2=c2 c b a c “重新排列”策略探究: c b a c2 b b a a ＝ c c c c c2 b2 a2 c2＝a2＋b2 由此得到直角三角形的性质定理： 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 A B C D E F G H a b c （勾股定理/毕达哥拉斯定理） 文字语言： 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2 + b2 = c2. 直角三角形的性质定理： （勾股定理/毕达哥拉斯定理） 变式： a2＝ c2－ b2， b2＝ c2－ a2 几何 代数 勾股定理 勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁. 例1 在△ABC 中，已知∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c. （1） 若a = 1，b = 2，求c. （2） 若a = 15，c = 17，求b. 解（1） 根据勾股定理得，c2 = a2 + b2 = 12 + 22 = 5. 因为c > 0，所以c = . （2） 根据勾股定理得，b2 = c2 － a2 = 172 － 152 = 64. 因为b > 0，所以b = 8. 例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，AD是底边BC上的高线，求 AD的长. 解：根据等腰三角形的性质定理得，AD 也是底边 BC 上的中线. 因为AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC， 所以BD＝ BC＝5. 在Rt△ADB中， 由勾股定理得，AD2＋BD2 ＝AB2, 故AD的长为12. 1. 当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且32 + 42 = 52，所以3，4，5 是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A） 5，12，13 （B） 6，8，10 （C） 7，24，25 （D） 8，15，16 【课本P166 练习 第1题】 D 2. 求下图中各直角三角形未知的边长. 【课本P166 练习 第2题】 3. 已知Rt△ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm，另一直角边BC 长6 cm，求AC 的长. 【课本P166 练习 第3题】 解：设直角边 AB 的长为 a cm，则斜边 AC 的长为（a + 2）cm， 在Rt△ABC 中，由勾股定理可得， ... ...
