高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步课堂 (原卷版+解析版)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型01 点到直线的距离 4 题型02 点到平面的距离 6 题型03 异面直线的夹角 8 题型04 直线与平面的夹角 10 题型05 二面角 12 知识点1： 点到直线的距离 l的单位方向向量为，=，则点P到直线l的距离． 知识点2： 点到平面的距离 设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝． 知识点3： 异面直线的夹角 1．设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角． 2．两异面直线所成角θ的取值范围是． 3．设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有． 知识点4： 直线与平面所成角 设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝． 知识点5： 二面角 1．如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 2．如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 1．向量法求点到线距离． (1) 构建恰当的空间直角坐标系． (2) 准确求解相关点的坐标． (3) 求出直线的方向向量． (4) 应用公式求解． 2．向量法求点到面距离． (1) 构建恰当的空间直角坐标系． (2) 准确求解相关点的坐标． (3) 求出平面的法向量． (4) 应用公式求解． 3．向量法求异面直线的夹角． (1) 选好基底或建立空间直角坐标系． (2) 求出两直线的方向向量v1，v2． (3) 代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解． 4．求线面角． (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角． 5．向量法求二面角的大小． (1) 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2) 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 题型01 点到直线的距离 （2025 黑龙江开学）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案． 【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2， 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P（0，0，3），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0）， 由，得M（0，0，2）， 又O为△PBC的重心，所以，，， 则，，， 故点O到直线DM的距离为． 故选：A． 【变式练1】（2025春 靖远县校级期末）已知空间中有A（1，2，3），B（﹣1，2，2），C（2，0，1）三点，则点A到直线BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春 醴陵市校级期中）如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（　　） A． B． C． D．1 【变式练3】（2025春 福建期中）已知空间中的三点A（1，2，3），B（1，2，5），C（3，0，1），则点C到直线AB的距离为　　　　． 题型02 点到平面的距离 （2025春 湛江期末）已知为平面α的一个法向量，A（1，0，0）为α内的一点，则点D（1，1，2）到平面α的距离为　　　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用向量法求点到平面的距离即可． 【解答】 ... ...