4.2 指数函数【能力提升训练】高一上册湘教版数学必修第一册（原题+解析）

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.2 指数函数 能力提升训练 1.（2025甘肃庆阳期中）已知函数则 ( ) A. B. C.0 D. 2.（2025河北石家庄期末）已知关于的不等式的解集为 ，函数且为指数函数，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2025河南南阳六校联考）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，若刚放进衣柜的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为 .已知新丸经过25天后，体积变为 ，则新丸经过75天后，体积变为( ) A. B. C. D. 4.（2025湖南部分名校开学考试）若是偶函数，则 ( ) A. B. C.1 D.0 5.（2025甘肃威武第七中学期末）已知函数且在区间 上单调递增，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.（多选2025甘肃兰州一中月考）已知函数，实数， 满足 ，则( ) A. B.，，使得 C. D. 7.（多选/2025江苏淮安检测）已知实数，满足等式 ，则下列关系式中可能成立的是( ) A. B. C. D. 8.（2025安徽合肥联考）已知函数 ，则不等式 的解集为_____. 9.（2025江西南昌二中期中）已知函数的值域为 ，则实数 的取值范围为_____. 10.（2025陕西西安期中）定义在上的奇函数，已知当 时， . （1） 求在 上的解析式； （2） 当时，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 11.（2025江苏常州期末）已知且，函数 满足 ，设 . （1） 求函数在 上的值域； （2） 若函数和在上的单调性相同，求实数 的取值范围. 参考答案 1.A【解析】 函数因为 ,所以 ,同理, ,因为 ,所以 . 2.A【解析】 不等式的解集为,,即 , （注意不等式解集端点值的运用）又为指数函数,,,,且 , . 3.C【解析】 分别设和时的体积为,,则,即 . 当时, . 4.D【解析】 令,则的定义域为 ,因为 ,所以函数 是奇函数. 因为是偶函数,所以为奇函数.（奇函数×奇函数 偶函数）则,即, . 5.C【解析】 令,因为且,则内层函数在 上单调递减, 且,可得 , 因为函数且在区间 上单调递增, 则外层函数为减函数,所以 , 综上所述,实数的取值范围是 . 6.CD【解析】 因为 （去绝对值,化成分段函数）则的图象如图所示,且易知 . 由图知,则 ; 由基本不等式可得, 所以 ,则 . 7.ACD【解析】 如下图所示, 当时, ； 当时, ； 当时, . 8. 【解析】 令,则在上单调递减,且 是奇函数.由 ,可得 , 所以 . 又因为在上单调递减,所以 （利用单调性,将函数值的大小关 系转化为自变量的大小关系）,即,解得 , 所以不等式的解集为 . 9. 【解析】 分和 讨论. ①若,当时,在上递增,则 , 当时,则 , 因为的值域为,所以 （注意分段点处函数值的大小关 系,两段函数值的范围的并集应为）,得,所以 . ②若,当时,在上递增,则 , 当时,在上递增,所以 , 因为的值域为,所以 ,（同样,两段函数值的范围 的并集应为）得 , 在同一直角坐标系中作出和 的图象,如图所示. 由图象可知当时,,所以当 时,不等式 成立. 综上,,即实数的取值范围为 . 10.(1)【答案】因为是定义在上的奇函数,时, , 所以,解得,所以时, , 当时, , 所以 , 又因为,所以, , 即在上的解析式为 . (2)【答案】 因为时,,所以 可化为 , 整理得,令,根据指数函数单调性可得, 与都是减函数,所以 也是减函数, 当时,,所以 , 故实数的取值范围是 . 11.(1)【答案】当时,, . 且 , ,即,解得 . 当时,, . ,且 , ,即 ,无解. 综上可得,, . . 令,,, . （利用换元法转化为求二次函数的值域问题,注意新元的范围） 当时,；当时, . 综上,函数在区间上的值域为 . (2)【答案】 函数在上单调递减,所以函数在 上单调递增. 若函数和在 上均单调递增, 则在 上恒成立, 故,解得 . 若函数和在 上均单调递减, 则在 上恒成立, 故 ,无解. 综上,实数的取值范围是 . ... ...