2025-2026学年广西柳州市铁一中学高三（上）9月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.芳芳高考前次数学模拟成绩分别为：，，，，，则其平均数为( ) A. B. C. D. 2.已知复数，则( ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 4.已知等差数列，前项和为，，则( ) A. B. C. D. 5.中，，，，则角的大小是( ) A. B. C. D. 6.不等式的解集为( ) A. B. C. 且 D. 7.已知，则( ) A. B. C. D. 8.已知是抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知是递增的等比数列，其前项和为，若，( ) A. B. C. D. 是等比数列 10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( ) A. 函数的极大值点为 B. 函数有个零点 C. 函数在点处的切线方程为 D. 函数的值域为 11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是( ) A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D. 为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向，，若，则实数_____． 13.若函数在处取得极小值，则 ． 14.在立方体中放入个球，一个与立方体个面都相切，其余个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知个相等的球的半径都为，则立方体的体积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 求的单调递增区间； 在中，若，求面积的最大值． 16.本小题分 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． 证明：平面； 若，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知甲、乙两个箱子中各装有个大小相同的球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为，，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为，，，，则从乙箱开始进行一次“交换”． 求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率； 已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18.本小题分 已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“优函数”． 试判断函数是否是上的“优函数”，请说明理由； 已知函数，． 证明：只有一个零点； 已知是的零点，证明：是上的“优函数”． 19.本小题分 已知，，，，动点满足，动点的轨迹为曲线：交于另外一点，交于另外一点． 求曲线的标准方程； 已知是定值，求该定值； 求面积的范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ， 根据题意可知，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的单调递增区间是，， 所以的单调递增区间是，； 已知，因为，所以， 由余弦定理，则，即， 根据基本不等式，所以，当且仅当时取等号，即， 三角形面积公式， 因为，所以，即面积的最大值为． 16.证明：侧面为矩形，， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以C. 因为， 所以，即， 因为，，平面， 所以平面； 解：连接，由易知， 由已知可得， 在中由余弦定理可得， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以在中， 由易知，，两两互相垂直，故以为坐标原点，，， ... ...
