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课件网) 第13章 勾股定理 13.1 勾股定理及其逆定理 1. 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理及其证明 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 （1）一个角为直角； A B C a b c ∠C=90°， ∠A+∠B=90°. （2）另外两个锐角互余. 那直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？ 直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系： （4）上面三个正方形的面积之间有什么关系 （3）正方形R的面积是 cm . （1）正方形P的面积是 cm ； （2）正方形Q的面积是 cm ； 【探究】勾股定理 探究与应用 （图中每一格为1cm ） 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 观察正方形瓷砖铺成的地面. SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那一般的直角三角形的三条边之间呢？ 发现： 【探究】勾股定理 探究与应用 【试一试】 P的面积(cm ) Q的面积(cm ) R的面积(cm ) 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR (每一小方格表示1cm ) BC2+AC2=AB2 （图3） （图2） 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积. 在一般的直角三角形ABC中，两直角边的平方和也等于斜边的平方. 发现： 把R看作是大正方形的面积-四个直角三角形面积. 【探究】勾股定理 【做一做】 探究与应用 13 5 12 A B C 52+122=132 上述关系式成立 作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立. 【探究】勾股定理 【验证】 探究与应用 证法一 赵爽弦图 a b c b-a S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 证明： 这种验证勾股定理的方法是面积法. “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 知识卡 【探究】勾股定理 探究与应用 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 证法二 毕达哥拉斯证法 【探究】勾股定理 探究与应用 b b c c ∴ a2 + b2 = c2. “总统证法”的图形实质是“毕达哥拉斯证法”图形的一部分 证法三 总统证法 a a 【探究】勾股定理 探究与应用 【概括】 由前面的探索与验证可以发现： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2. 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 【探究】勾股定理 探究与应用 【拓展】 勾股定理给出了直角三角形的三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方. c b a c2=a2 + b2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2 已知直角三角形任意两边的长,可以求出第三边的长. 【探究】勾股定理 探究与应用 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 勾股史话 【探究】勾股定理 【应用】 探究与应用 例 在Rt△ABC中，∠B＝90°, AB=6,BC=8. 求AC的长. 解：根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 =AC2 . 所以 AC = 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的 ... ...
