广东省江门市2024-2025学年高二上学期普通高中学科竞赛数学试题（无答案）

内部资料·注意保存 江门市2024-2025学年度普通高中学科竞赛 数　学 本试卷共4页，13小题，满分150分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 3.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分. 1．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 . 已知复数满足，且，则复数表示的曲线长为 ． 已知椭圆的左焦点为，过坐标原点作直线与椭圆分别交于两点，且，，则椭圆的离心率为 ． 已知一个圆台下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，若该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的表面积为，则该圆台的体积为 ． 定义在上的函数满足，且关于对称，，则 .（注：） 已知圆，圆，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，则当取得最小值时，点的坐标是 . 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号： 一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在 处的函数值分别为 则在区间 上可以用二次函数来近似代替：，其中 ，若令，请依据上述算法，估算是 ． 9．已知非零向量满足，且，则的最大值为 ． 10.已知函数若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是 ． 二、解答题：本大题共3小题，其中第11、12题均20分，第13题30分，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．已知函数，对，恒有 . (1)求的值及的单调递增区间； (2)在中，已知，，其面积为，求的周长； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点， 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，都存在实数使得不等式恒成立，求的取值范围. 12．如图，在四棱锥中，平面平面，，， ，，. 求证：平面平面； (2)设 （i）若.则求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点在以为球心的球上？若存在，求的余弦值；若不存在，说明理由. 13．已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，是抛物线 上一点，且到的距离为，的面积为，过点且不与坐标轴垂直的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)设直线分别与交于点，若四边形的面积为，求直线 的方程； (3)设直线与交于点，线段的垂直平分线与轴交于点 （i）证明：； （ⅱ）四点是否在同一个圆上？并说明理由． ... ...