1.4.1 充分条件与必要条件 课时作业 1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的有( ) [A]若AB,则A∩B=A [B]若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 [C]若|x|≠1,则x≠1 [D]若ab>0,则a>0,b>0 【答案】 ABC 【解析】 由AB,可以推出A∩B=A,所以A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以D不符合题意.故选ABC. 2.(多选)已知一个平面四边形ABCD,则“四边形ABCD是平行四边形”的一个必要条件是( ) [A]四边形的两组对边分别相等 [B]四边形的两组对角分别相等 [C]四边形的四条边长均相等 [D]四边形的两组对边平行 【答案】 ABD 【解析】 由四边形为平行四边形可推得A,B,D均正确;选项C,满足条件的四边形是菱形,而由四边形是平行四边形无法推出其是菱形.故选ABD. 3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“A B ”是“a=3”的( ) [A]充分条件 [B]必要条件 [C]不是充分条件,也不是必要条件 [D]无法判断 【答案】 B 【解析】 因为A B a=2或a=3,所以a=3 A B,A Ba=3.故选B. 4.以下说法错误的是( ) [A]“x2=y2”是“x=y”的必要条件 [B]“<0”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根”的充分条件 [C]“a+b是偶数”是“a,b都是偶数”的必要条件 [D]“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件 【答案】 D 【解析】 由x=y,可得x2=y2,故“x2=y2”是“x=y”的必要条件,A正确;由<0,可得ac<0,则b2-4ac>0,此时方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根,故“<0”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根”的充分条件,B正确;由a,b都是偶数可推出a+b是偶数,所以“a+b是偶数”是“a,b都是偶数”的必要条件,C正确;由(a+b)(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,D错误.故选D. 5.已知命题p:-3
4} 【解析】 由题意{x|1≤x≤4} {x|x4. 8.(5分)若“x>1或x<-2”是“x1或x<-2},结合数轴可得,a≤-2,所以a的最大值为-2. 9.(14分)(1)若“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分条件,求实数m的值; (2)已知集合A={0,a+2},B={0,1,a2},若“x∈B”是“x∈A”的必要条件,求实数a的值. 【解】 (1)依题意,x=2是m2x2-(m+3)x+4=0的解,所以m2×22-(m+3)×2+4=4m2-2m-2=0, 即2m2-m-1=0,解得m=1或m=-. (2)由题意得“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B. ①当a+2=1,即a=-1时,集合B不满足互异性,不符合题意; ②当a+2=a2,即a=-1或a=2时,由①可知a=-1不符合题意, 当a=2时,集合A={0,4},集合B={0,1,4},符合题意. 综上,a=2. 10.(14分)(1)是否存在实数m,使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件 (2)是否存在实数m,使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的必要条件 【解】 (1)存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,则只要{x|x<-} {x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2. 故存在实数m≥2,使“2x+m<0”是“x<-1或 x>3”的充分条件. (2)不存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} {x|x<-}, 但这是不可能的. 故不存在实数m,使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的必要条件. 强化练 11.设x,y是两个实数,则“x,y中至少 ... ... 