第2课时 充要条件 学习 目标 1. 理解充要条件的概念． 2. 能够根据命题的条件和结论的关系，判断一些简单的充要条件问题，能对充要条件进行证明． 新知初探基础落实 战国时期墨子所著《墨经》中对充分条件、必要条件的描述： 充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”． 必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”． 物理中： ① ② 问题1：在①②两个电路中， A，C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？ 略． 问题2：你能列举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？ 略． 一、 生成概念 问题3：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集． 不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题． 问题4：你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分又不必要条件． 请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空． 二、 概念表述 1. 逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“__若q，则p__”，称这个命题为原命题的__逆__命题． 2. 充要条件 命题真假 “若p，则q”为__真__命题； “若q，则p”为__真__命题 推出关系 __p q__ 条件关系 p既是q的__充分__条件，也是q的__必要__条件，我们说p是q的 __充分必要__条件，简称为充要条件 3. 条件关系判定的常用结论： (1) 关系：p q，且qp. 结论：p是q的充分不必要条件． (2) 关系：q p，且pq. 结论：p是q的必要不充分条件． (3) 关系：p q，且q p，即p q. 结论：p是q的充要条件． (4) 关系：pq，且qp. 结论：p是q的既不充分又不必要条件． 4. 从集合的角度理解充分与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，则 (1) 若A B，则p是q的充分条件； (2) 若B A，则p是q的必要条件； (3) 若AB，则p是q的充分不必要条件； (4) 若BA，则p是q的必要不充分条件； (5) 若A＝B，则p是q的充要条件； (6) 若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件． 典例精讲能力初成 探究1 充要条件的判断 例1 (课本P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； 【解答】因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件． (2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； 【解答】因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件． (3) p：xy>0，q：x>0，y>0； 【解答】因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立，所以pq，所以p不是q的充要条件． (4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0(a≠0). 【解答】因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q，所以p是q的充要条件． (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法． (3) 传递法：由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性 ... ...
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