(
课件网) 3.2 勾股定理的逆定理 第3章 勾股定理 1.探究并证明勾股定理逆定理，体会“数”与“形”的内在联系.(重点) 2.会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”.(重点、难点) 学习目标 勾股定理的逆定理 问题 如图，△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2，能否证明△ABC为直角三角形？ 提示 作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=BC=a，A'C'=AC=b，如图. ∴由勾股定理，可得A'B'2=a2+b2. ∵AB2=a2+b2， ∴A'B'2=AB2，即A'B'=AB. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形. 知识梳理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是 . 符号语言：在△ABC中，∵ ， ∴△ABC为直角三角形. 直角三角形 a2+b2=c2 2.勾股定理与逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2+b2=c2 结论 a2+b2=c2 ∠C=90° 区别 “直角三角形”为条件，数量关系a2+b2=c2为结论.是直角三角形的性质 数量关系a2+b2=c2为条件，“直角三角形”为结论.是直角三角形的判定 联系 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2+b2=c2有关 3.如果三个 a，b，c满足关系a2+b2=c2，则称a，b，c为 . 正整数 勾股数 例1 (课本P94例1)已知：a，b，c为正整数，且a2+b2=c2.求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数. 证明 ∵a2+b2=c2， ∴+=k2a2+k2b2 =k2(a2+b2) =k2c2=(kc)2. ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数， ∴ka，kb，kc构成勾股数. 判断三个数是不是勾股数的“三步法”： (1)判断三个数是否都为正整数； (2)确定最大数； (3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 反思感悟 跟踪训练1 △ABC的三边长分别是a，b，c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，△ABC是直角三角形吗？证明你的结论. 解 △ABC是直角三角形.证明如下： 由题意可知c为最大数. ∵a2+b2=+ =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 ==c2， ∴△ABC是直角三角形. (课本P95例2)如图，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20.求AC的长. 例2 解 ∵AD是△ABC的中线，BC=20，∴BD=DC=BC=10. ∵AD=24，AB=26， ∴AD2+BD2=242+102=676，AB2=262=676. ∴AD2+BD2=AB2. ∴∠ADB=90°(勾股定理的逆定理). ∴AD垂直平分BC. ∴AC=AB=26. 如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°. (1)求证：∠D=90°； 跟踪训练2 证明 连接AC，如图所示， 由题意，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=202+152=625， ∵CD2=72=49，AD2=242=576， ∴AC2=AD2+CD2， ∴△ADC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠D=90°. (2)求四边形ABCD的面积. 解 由(1)可得△ADC是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCD=AB·BC+AD·CD=×20×15+×24×7=150+84=234， ∴S四边形ABCD=234. 1.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 A.a=3，b=4，c=5 B.∠A+∠B=∠C C.a=1，b=2，c=3 D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 √ 解析 A项，∵a=3，b=4，c=5，即a2+b2=32+42=25，c2=25， ∴a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形，此选项不符合题意； B项，∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C=180°. ∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形，此选项不符合题意； C项，∵a=1，b=2，c=3，即a2+b2=12+22=5，c2=9， ∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，此选项符合题意； D项，∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x， ∴x+2x+3x=180°，解得x=30°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， 故△ABC为直角三角形，此选项不符合题意. 2.勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角 ... ...
