22.2二次函数与一元二次方程 【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 3 【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 6 【题型3】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 9 【知识点1】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． △=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； △=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2025 盐城一模）已知二次函数y=ax2+bx+c,交x轴于（3，0）（7，0）两点，当x=5时，y＜0．则当4＜x1＜5，6＜x2＜7时，y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2B．y1＜y2C．．y1≥y2D．y1≤y2 【答案】B 【分析】先求出抛物线的对称轴，确定抛物线的开口方向，再求出点（x1，y1）的对称点（10-x1，y1），根据二次函数的性质即可得出结果． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于（3，0）（7，0）， ∴对称轴为：x==5， 即x=5， ∵当x=5时，y＜0， ∴抛物线的开口向上， 即a＞0； ∴当x＜5时，y随x的增大而减小； 当x＞5时，y随x的增大而增大； ∵点（x1，y1）的对称点为：（10-x1，y1）， 而5＜10-x1＜6， ∴点（x2，y2）在点（10-x1，y1）的上方， ∴y1＜y2； 故选：B． 【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024 黄石模拟）下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x1.61.82.02.22.4y-0.80-0.54-0.200.220.72 A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4 【答案】C 【分析】由-0.20＜0＜0.22，可求解． 【解答】解：∵-0.20＜0＜0.22， ∴2.0＜x1＜2.2． 故选：C． 2.（2024秋 台江区期中）根据表格中代数式ax2+bx+c=0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（ ） x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06 A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20 【答案】C 【分析】观察表中数据得到当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，所以可确定方程ax2+bx+c=0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【解答】解：∵当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0， ∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19． 故选：C． 【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 【典型例题】二次函数y=a（x-3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】∵y=a（x-3）2+4（a≠0），∴抛物线的对称轴为x=3． 又∵当1＜x＜2时，函数图象位于x轴的上方， ∴当4＜x＜5时，函数图象位于x轴的上方． 又∵当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的下方， ∴当x=5时，y=0．∴4a+4=0．∴a=-1． ... ...
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