第十五章 轴对称--等腰三角形 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十五章 轴对称--等腰三角形 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册 七 等边三角形的判定 如图，在中，为边延长线上的一点，已知，．求证：是等边三角形． 如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 如图：，试说明是等边三角形． 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 八 含30 角的直角三角形 如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 2． 如图，在中，是高，， 求证：． 3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 4． 如图，在中，，，于点，若，求的长． 九 等腰三角形的性质与判定的综合应用 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2． 如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 3． 在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 4． 为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，． (1)如图1，作于F，求证：； (2)在图中，连接交于，如图，求的值； (3)如图，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接，当点在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 十 等边三角形的性质与判定的综合应用 综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点E是中点时，求证：． (2)当点E不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点E在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 3． 探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 4． 已知为等边三角形，点D为边上一动点，E为下方一点，连接、，． (1)如图1，若点D与点C重合，求证：．； (2)如图2，若，求证； (3)如图3，，若点O为中点，连接OD，则的最小值为_____． 答案 七 等边三角形的判定 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 证明：， 又， 是等边三角形． 解：， ， ， 又， 是等边三角形． 证明：∵， ∴， ∵， ∵， ... ...