27.4 正多边形和圆 素养目标 1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 2.能用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. 重点 能用正多边形的知识解决问题;会用量角器等分圆周;会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. 【预习导学】 知识点 正多边形的有关概念及性质 阅读课本本课时“例”之前的内容,完成下面问题. 正五边形有 条对称轴,这些对称轴都交于一点,记为O,根据轴对称的性质可知,这些对称轴是正五边形各边 的交点,因此点O到正五边形各顶点的距离 ,记为R.那么以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个 ,它是该正五边形的外接圆.另外,这些对称轴也是正五边形各内角的平分线,根据角平分线的性质,点O到各边的距离都 ,记为r,那么以点O为圆心,r为半径的圆就与正五边形的各边都相切,它是正五边形的内切圆. 归纳总结 任何正多边形都有一个 和一个 .这两个圆有公共的 ,称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角. 对点自测 正八边形的中心角是 °. 【合作探究】 任务驱动一 圆内接正多边形的画法 阅读课本本课时“图27.4.6”右边的内容至“练习”,回答下列问题. 1.尺规作图. (1)利用尺规作图作出☉O的圆内接正方形(不写作法,保留作图痕迹). (2)利用尺规作图作出☉M的圆内接正三角形(不写作法,保留作图痕迹). (3)在用尺规作图作圆内接正方形、正六边形的基础上,你还可以作出哪些正多边形 (举出四个即可) 2.用量角器画圆的内接正五边形时,可以把中心角 等分,那么弧 被 等分,顺次连结各等分点即可得到正五边形. 方法归纳交流 因为同圆中相等的弧所对的弦 ,相等的弧所对的圆周角 ,因此n等分圆周即可作出正n边形. 变式演练 下列正多边形,不能用尺规作图作出的是 ( ) A.正三角形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形 任务驱动二 圆内接正多边形的中心角、半径、边心距 3.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积. 变式演练 如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON. (1)求图①中∠MON的度数. (2)图②中,∠MON的度数是 ,图③中,∠MON的度数是 . (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). 参考答案 【预习导学】 知识点 五 垂直平分线 相等 顶点 相等 归纳总结 外接圆 内切圆 圆心 对点自测 45 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)如图1,四边形ABCD即所求. (2)如图2,△GEF即所求. (3)(答案不唯一)举出四个即可,如正八边形、正三角形、正十二边形、正十六边形、正二十四边形等. 2.五 五 方法归纳交流 相等 相等 变式演练 B 任务驱动二 3.B 4.解:如图,过点O作OM⊥AB于点M,连结OA.由于多边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,从而正六边形的边长等于它的半径, 因此,所求的正六边形的周长为6a. 在Rt△OAM中,OA=a,AM=AB=a,利用勾股定理,可得边心距OM==a, 所以所求正六边形的面积=6×AB·OM=6×a·a=a2. 变式演练 解:(1)如图,连结OB,OC. ∵正三角形ABC内接于☉O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°. 又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN, ∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°,72°. (3)∠MON=. ... ...
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