第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 教学设计 一、教学目标 1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程. 2. 进一步理解解析几何的基本思想方法. 二、教学重难点 1、教学重点 抛物线的定义和标准方程. 2、教学难点 抛物线的标准方程的推导. 三、教学过程 （一）新课导入 教师：如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当时，点M的轨迹为椭圆；当时，点M的轨迹为双曲线.那么，当时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？ 学生：思考. （二）探索新知 探究一：抛物线的定义 教师：我们在平面内取点F是定点，l是不经过点F的定直线，如何作定点M，使它到定点F的距离与它到定点l的距离相等呢？ 学生：连接点M和定点F，线段MF的长度就是点M到定点F的距离，过点M向直线l做垂线段MH，垂线段的长度是点M到定直线l的距离，满足. 教师：如果让点M运动起来，怎么满足这个条件不变？ 学生：我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M.拖动点H，观察点M的轨迹. 教师：动点M的轨迹是什么形状？ 学生：拖动点H，点M也随之运动，始终有，即点M到定点F的距离等于它到定直线1的距离，这时我们看到，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线，所以动点M到定点F的距离与它到定直线1的距离相等时，动点M的轨迹是抛物线. 教师：当直线1经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线1的垂线是什么位置关系？ 学生：当直线1经过点F时，动点M到定点F的距离|MF|就是动点M到定直线1的距离. 总结：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 探究二：抛物线的标准方程 根据抛物线的几何特征，如图，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为. 设是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 因为，，所以.将上式两边平方并化简，得.① 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上. 总结：我们把方程①叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 抛物线的标准方程的不同的形式 图形 标准方程 交点坐标 准线方程 例： （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程. 解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是. （2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是 （三）课堂练习 1.已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则( ) A.2 B.3 C.6 D.9 答案：C 解析：设焦点为F，点A的坐标为，由抛物线定义得，点A到y轴的距离为9，，，.故选C. 2.若拋物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 答案：B 解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为是抛物线的焦点，过点P作轴，垂足是A，延长交准线l于点B，则.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离，所以点P到焦点F的距离.故选B. 3.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案：D 解析：点到直线的距离比它到点的距离小1,即点到直线的距离与它到点的距离相等,符合抛物线的定义,故点的轨迹是抛物线. 故选D. ... ...
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