4.4 数学归纳法 课件（18张PPT） 2025-2026学年苏教版2019高中数学选择性必修第一册

4.4 数学归纳法* 第4章 1.了解数学归纳法的原理. 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 3.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题. 你玩过多米诺骨牌吗？你能发现它有什么特点？ 图二：后续的多米诺骨牌会依次倒下吗？ 图一：图中的多米诺骨牌会倒下吗？ 思考：什么情况下可以使得一系列的多米诺骨牌全都倒下？ 1）使开头的第一块倒下. 2）后续的多米诺骨牌间隔必须满足前一块倒下后能使得后一块也倒下. 多米诺骨牌问题中蕴含着什么样的数学思维呢？ 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立； (2)假设当n=k(k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 对于理解数学归纳法要注意以下三点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 例1 用数学归纳法证明：若等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an＝????1+(?????1)????①. ? 证明：(1)当????＝1时，左边＝????1，右边＝????1+0×????＝????1，等式①成立. (2)假设当????＝????(????∈????? ) 时，等式①成立，即????????＝????1+(?????1)????， 那么当????＝????+1时，有 ????????+1＝????????+????＝????1+(?????1)????+????＝?＝????1+[(????+1)?1]????， 这就是说，当????＝????+1时，等式①也成立. 根据(1)(2)可知，对任何????∈?????，等式①都成立. ? 归纳总结 用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点： (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项； (3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 例2 用数学归纳法证明，对任意的正整数????，都有 12+22+32+…+????2 =????(????+1)(2????+1)6. ? 证明： (1)当????=1时， 左边=12=1?，右边 =1×(1+1)×(2×1+1)6=1， 所以此时等式成立. ? (2)假设当????=????(k≥1)时， 等式成立，即 12+22+32+…+????2 =????(????+1)(2????+1)6. 则 12+22+32+…+????2 +(????+1)2 = ????(????+1)(2????+1)6+(????+1)2 = ????(????+1)(2????+1)(2????+3)6 = ????+1????+1+1[2(????+1)+1]6， 所以，此时????=????+1也成立， 由(1)(2)可知， 等式对任何n∈?????都成立. ? 用上假设 通分、提取公因式 例3 用数学归纳法证明：122+132+142＋…＋1n2<1－1n(n≥2，n∈N*)． ? 证明：(1)当n＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12，明显14<12，∴不等式成立． (2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立， 即122+132+142＋…＋1k2<1－1k， 则当n＝k＋1时， 122+132+142＋…＋1k2+1k+12<1－1k+1k+12 ＝1－k+12?kkk+12＝1－k2+k+1kk+12<1－kk+1kk+12＝1－1k+1. ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． ? 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式： 一是直接给出不等式，按要求进行证明； 二是给出两个式子，按要求比较它们的大小． 对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明． 归纳总结 例4 设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1. (1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值. (2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想. 解：(1)当n＝1时，f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8＝8×1； 当n＝2时， ... ...