4.2.1 等差数列的概念 课件（16页） 2025-2026学年苏教版2019高中数学选择性必修第一册

4.2.1 等差数列的概念 第4章 1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算. 2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列. (1)第23届到第31届奥运会举行的年份依次为 1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016. (2)某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3min，收话费0.2元，以后每分钟(不足1min按1min计)收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次为 0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. (3)如果1年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10000元分别存1个月、2个月、3个月……12个月，所得的本利和依次为 10000＋16.5，10000＋16.5×2，…，10000＋16.5×12. 上面这些数列有什么共同特点？ 从第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 1.等差数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示. 在等差数列{an}中，始终有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…= d . 思考：如果说“一个数列从第二项起，相邻两项的差是同一个常数”，那么这个数列是等差数列吗？ 这个数列不一定是等差数列，等差数列中的“差”是有顺序的，必须是“从第二项起，每一项与前一项的差”，而“相邻两项的差”，这里的“相邻”可能是后一项减去前一项，也可能是前一项减去后一项，如数列 2 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，其相邻两项的差是同一个常数1，但此数列不是等差数列. ? (1)求公差d时，可以用d＝an-an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1-an(n∈N＋).公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒. (2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列. 提醒 例1 判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3)-3，-2，-1，1，2，3. 解：(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列. (2)∵16－13＝13－10＝10－7＝7－4＝3， ∴所给数列是首项为4，公差为3的等差数列. (3)∵-2－(-3)＝-1－(-2)≠1－(-1)， ∴这个数列不是等差数列. 归纳总结 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是，则该数列是等差数列，否则该数列不是等差数列. 例2 求出下列等差数列中的未知项： (1)3，a，5； (2)3，b，c，-9. 解：(1)根据题意得a－3＝5－a，解得a＝4. (2)根据题意得?????3=??????????????????=?9?????，解得????=?1????=?5. ? 归纳总结 若干个数成等差数列求其中的未知元素时，要严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知元素. 2.等差中项 如果????，????，????是等差数列，那么称????为????与????的等差中项.（ ????=????+????2） 中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项. ? 例3 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. ∴m和n的等差中项为????+????2=3. ? B 例4 (1)在等差数列{an}中，是否有????????=?????????1+????????+12(n≥2)？ (2)在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有????????=?????????1+????????+12，那么 数列{an}一定是等差数列吗？ ? 解：(1)∵{an}是等差数列，∴an+1－an＝an－an-1(n≥2)， ∴????????=?????????1+????????+12. (2)在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有????????=?????????1+????????+12， 从而an+1－an＝an－an-1(n≥2)， 这表明 ... ...