5.3.2 正切函数的图象与性质 课件(共11张PPT) 2025-2026学年湘教版2019高中数学必修第一册

(课件网) 第5章 三角函数 5.3.2 正切函数的图象与性质 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质； 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 问题1：回顾正弦函数图象的画法，思考如何画出函数 y = tan x，x∈[ ， ) 的图象？ 如图，设 x∈[ ， ) ，画出角 x 的终边与单位圆交于 点 B ( x0，y0 )；过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为M； 过点 A ( 1，0 ) 作 x 轴的垂线与角 x 的终边交于点 T， 则 tan x = = = = AT； 即：当x∈[， )时，线段 AT 的长度就是角 x 的正切值. 利用线段 AT 画出函数 y = tan x，x∈[ ， ) 的图象如图所示. 由诱导公式可得 tan(x + π) = tan x， 其中 x∈R，x ≠ + kπ，k∈Z， 所以 y = tan x 是周期函数，周期是 π． 由于正切函数 y = tan x 是以 π 为周期的周期函数，所以 y = tan x，x∈( - ， ) 的图象 左、右平移 π 个单位 y = tan x，x∈R，x ≠ + kπ，k∈Z 的图象 问题2：观察正切函数的图象，说说正切函数的图象有怎样的特征？ 问题3：结合正切函数的图象特征，完成下列填空. 函数 y = tan x，x∈R 且 x ≠ + kπ，k∈Z 值域 奇偶性 单调性 (– + kπ， + kπ)，k∈Z上都单调递增 R 正切函数有奇偶性，是奇函数 图象特征： ① 关于原点对称； ② 在区间 (– + kπ， + kπ) 内， 从左向右呈不断上升趋势. 分析 ： 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论； 解 ：自变量 x 的取值应满足： ≠ + ，k∈Z，即 x ≠ + 2k； 所以，函数的定义域 { | ≠ + 2k，k∈Z }； 例1：求函数 的定义域、周期及单调区间． 由诱导公式 tan ( π + x + ) = tan ( x+ ) 可知： tan [ (x + 2) + ] = tan ( ) ，即函数周期为2； 由 – + kπ < < + kπ 解得：– + 2k < x < + 2k，k∈Z ； 因此，函数在区间 ( – + 2k， + 2k )，k∈Z 上单调递增. 例2：比较下列正切函数值的大小. （1）tan 167°与 tan 173°； （2）tan () 与 tan (). 提示：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到 y = tan x 的同一单调区间内，再利用 y = tan x 的单调性解决. 解：（1）∵ 90°< 167°< 173°< 180°， 又∵ y = tan x 在区间 (90°，180°) 上单调递增，∴ tan 167°< tan 173°； （2）∵ ，； 又∵，且 在 () 上是增函数， ∴ ，即 . 练一练：不通过求值，试着直接比较下列两个正切值的大小： tan (– 52°) 和 tan (– 47°). ∵ – 90°< – 52°< – 47°< 90°， 又函数 y ＝ tan x 在区间 [– 90°，90°] 上是增函数， ∴ tan (– 52°) < tan (– 47°). 根据今天所学，回答下列问题： （1）回顾今天学过哪些正切函数的性质？ （2）请说说如何利用单调性，直接判断正切函数值的大小？ 定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性： 全体实数R 周期函数，最小正周期T=π 正切函数在开区间　 　　　　　　　 内都是增函数 （1）正切函数图象 （2）正切函数性质 奇函数，对称中心为： ... ...