1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识归纳 知识点一 全称量词命题的否定 全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) ﹁ 全称量词命题的 否定是 命题 知识点二 存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) ﹁ 存在量词命题的 否定是 命题 常见正面词语的否定举例: 正面 词语 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小 于(≥) 不是 不都 是 正面 词语 至少有 一个 至多有 一个 任意的 所有 的 至多 有n个 否定 一个也 没有 至少有 两个 某个 某些 至少有 n+1个 基础自测 1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是( ) [A] x≤2,x2+1≥0 [B] x>2,x2+1>0 [C] x≤2,x2+1>0 [D] x>2,x2+1≥0 2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为( ) [A] x Z,x2<6x+5 [B] x Z,x2<6x+5 [C] x∈Z,x2<6x+5 [D] x∈Z,x2<6x+5 3.命题“小数都是无理数”的否定为( ) [A]所有小数都不是无理数 [B]有些小数是无理数 [C]有些小数不是无理数 [D]所有小数都是无理数 4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是( ) [A]对任意的x∈R, x2≥0 [B]所有的正方形都是矩形 [C]至少有一个实数x,使x+1=0 [D]存在x∈R,x2+2≤0 题型一 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1) x∈R,x2+2x+5>0; (2)菱形的对角线互相垂直; (3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数. (1)对全称量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. ②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等. (2)全称量词命题否定后的真假判断方法. 若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. 提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词. [变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1) x∈R,2x+1>0; (2)每个三角形至少有两个锐角; (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (4)末位数是偶数的数能被4整除. 题型二 存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1) x∈R,x2+4=0; (2)一元二次方程不总有实数根; (3) 存在一个实数x,使>2. (1)对存在量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. ②否定结论:原命题中的“有”“存在”等分别更改为“没有”“不存在”等. (2)存在量词命题否定后的真假判断方法. 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. [变式训练] (北师大版必修第一册P22例7)写出下列存在量词命题的否定: (1)某箱产品中至少有一件次品; (2)方程x2-8x+15=0有一个根是偶数; (3) x∈R,使x2+x+1≤0. 题型三 由含量词命题的否定求参数 [例3] 已知命题p: x∈{x|4≤x≤9},x
