2.2基本不等式 导学案（含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

第2课时　基本不等式的应用 【学习目标】　1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 题型一　利用基本不等式证明不等式 [例1] (北师大版必修第一册P27例4)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++. 【证明】 因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式,得a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立; b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立; a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立. 上面三式相加,得 2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时,等号成立. 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. [变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证: (1)(-1)(-1)(-1)≥8; (2)++≥9. 【证明】 (1)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以-1==≥>0, 同理-1≥>0,-1≥>0. 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得(-1)·(-1)(-1)≥··=8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 题型二　基本不等式的应用 [例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m. (1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围; (2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值. 【解】 (1)由阴影部分是宽度为1 m的小路,可得2a+3=,则a=-,则a关于x的关系式为a=-,30,b>0)证明三元基本不等式:如果a,b,c>0,那么(1)a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立); (2)≥(当且仅当a=b=c时,等号成立). 【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以a3+b3+c3+abc≥2+2=2(ab+c2)≥2·2=4abc, 所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立). (2)由(1)得()3+()3+()3≥3··=3,所以a+b+c≥3, 所以≥(当且仅当a=b=c时,等号成立). [跟踪训练] (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　　) [A]若x>0,则x2+的最小值为3 [B]若00,则2x+的最小值为3 [D]若00,所以x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,A项正确;对于B项,因为0