3.3　幂函数 导学案（含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

3.3幂函数 【学习目标】　1.掌握幂函数的概念.2.掌握幂函数y=xα(α=-1,,1,2,3)的图象与性质. 3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小. 知识归纳 知识点一　幂函数 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 知识点二　常见幂函数的图象和性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调 递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) 知识拓展 一般幂函数的图象和性质 　当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线. α= (pq≠0) p,q都是 奇数 p是偶数, q是奇数 p是奇数, q是偶数 α<0 0<α<1 α>1 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非 偶函数 在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增 基础自测 1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于(　　) [A]-4 [B]- [C]4 [D] 【答案】 C 【解析】 因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,f(-2)=4.故选C. 2.以下结论中,正确的为(　　) [A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线 [B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 [C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大 [D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限 【答案】 D 【解析】 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过点(0,0),故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确.故选D. 3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(　　) [A]①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 [B]①y=x3,②y=x2,③y=x-1,④y= [C]①y=x2,②y=x3,③y=x-1,④y= [D]①y=x3,②y=,④y=x2,④y=x-1 【答案】 A 【解析】 y=x3的定义域为R,为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象①;y=x2的定义域为R,为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象②;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,对应图象④.故选A. 4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接) (1)1.　　　　1.; (2)(-1.2)3　　　　(-1.25)3; (3)5.25-1　　　　5.26-1. 【答案】 (1)<　(2)>　(3)> 【解析】 (1)因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.5<1.7,所以1.<1.. (2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25,所以(-1.2)3>(-1.25)3. (3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,且5.25<5.26,所以5.25-1>5.26-1. 题型一　幂函数的概念 [例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为(　　) [A]4 [B]3 [C]2 [D]1 【答案】 C 【解析】 幂函数的一般表达式为y=xα,逐一对比可知题干中的幂函数有①y=x3,⑤y=x. 故选C. 幂函数解析式的特征 (1)xα的系数是1. (2)xα的底数是自变量,指数α为常数. (3)项数只有一项. [变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于(　　) [A]-1 [B]1 [C]-2 [D]2 【答案】 D 【解析】 由幂函数的定义得m2-4m+5=1,且2m-n=0,解得m=2,n=4,故n-m=2.故选D. 题型二　幂函数的图象 [例2] 图中曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取-1,1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(　　) [A]-1,,1,2 [B]2,1,,-1 [C],-1,2,1 [D]2,,-1,1 【答案】 B 【解析】 函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图象为C4;y=x的图象为一条过原点的直线,对应的图象为C2;y=x2的图象为抛 ... ...