4.2.1 指数函数的概念 学习目标 1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用. 知识归纳 知识点一 指数函数的概念 一般地,函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 函数的特征 (1)底数a>0,且a≠1. (2)指数幂的系数为1. (3)自变量在指数上. 知识点二 指数增长型和指数衰减型函数模型 1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数增长型函数模型. 2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数衰减型函数模型. 基础自测 1.下列函数是指数函数的是( ) [A]y=2x+1 [B]y=2x+1 [C]y=2-x [D]y=-2x 2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于( ) [A] [B]2x [C] [D] 3.若函数f(x)=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为( ) [A]2 [B]1 [C]1或 [D] 4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为 . 题型一 指数函数的概念 [例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有( ) [A]a=2 [B]a=3 [C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3 判断一个函数为指数函数的方法 (1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征. (2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数. [变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=4x2;⑦y=xx; ⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为 ;是指数函数的为 .(填序号) 题型二 求指数函数的解析式或函数值 [例2] 已知函数f(x)为指数函数,若f(2)=4f(1),则f()+f(-1)= . (1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. [变式训练] 已知指数函数y=f(x)满足f(-2)=,则f(2)·f(1)等于( ) [A]-3 [B]9 [C]27 [D]81 题型三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 [例3] 全球变暖使某大洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%,按此规律,设2025年的冬季冰盖面积为m,从2025年起,经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系式是( ) [A]y=0.9·m [B]y=(1-0.0)·m [C]y=0.9550-x·m [D]y=(1-0.0550-x)·m 指数型函数在实际问题中的应用 (1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0
0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 函数的特征 (1)底数a>0,且a≠1. (2)指数幂的系数为1. (3)自变量在指数上. 知识点二 指数增长型和指数衰减型函数模型 1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型. 2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当0