5.2.2　同角三角函数的基本关系 导学案 （含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明. 知识归纳 知识点　同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α=1; 商数关系:=tan α.(α≠kπ+,k∈Z ) 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. (1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立. (2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2. 基础自测 1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于(　　) [A] [B]- [C]2 [D]-2 【答案】 D 【解析】 因为cos α=,sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,因为α是第四象限角,所以 sin α<0,则sin α=-,所以tan α==-2.故选D. 2.已知tan α=3,则的值为(　　) [A]- [B] [C]-2 [D]2 【答案】 A 【解析】 由tan α==3可得cos α≠0,分式的分子和分母同时除以cos α可得,===-.故选A. 3.已知=,则等于(　　) [A] [B]- [C] [D]- 【答案】 A 【解析】 从=可得,cos x≠0,所以sin x≠±1,而====.故选A. 4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α=　　　　. 【答案】 1 【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 题型一　利用同角三角函数的基本关系求值 [例1] 根据下列条件,求三角函数值: (1)已知sin α=,且α为第二象限角,求 cos α,tan α的值; (2)已知tan α=-,求sin α,cos α的值. 【解】 (1)因为sin α=,且sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=,又α为第二象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,tan α==-. (2)因为tan α=-,所以sin α=-cos α,且α是第二或第四象限角; 联立得cos2α=.当α是第二象限角时,cos α=-,sin α=-cos α=;当α是第四象限角时,cos α=,sin α=-cos α=-.所以cos α=-,sin α=或cos α=,sin α=-. [典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值. (1)tan α; (2); (3). 【解】 (1)因为角α的终边过点P(-1,2),所以由三角函数定义可得tan α==-2. (2)由(1)知,tan α=-2,所以===-. (3)原式====-. [典例迁移2] 已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值. 【解】 法一(弦化切)　由==-1,得tan α=1, 所以sin2α+sin αcos α+1 = = = ===2. 法二　因为=-1,所以sin α=cos α,所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2. (1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”. ①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. ②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题. (2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法. ①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值; ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. 题型二　sin θ±cos θ型求值问题 [例2] 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,求下列式子的值. (1)sin θcos θ; (2)sin θ-cos θ; (3)sin θ和cos θ和tan θ. 【解】 (1)由sin θ+cos θ=,两边平方可得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-. (2)由sin θcos θ=-<0,又θ∈(0,π), 所以sin θ>0,所以cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ===. (3)由 得tan θ==-. 已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解. (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ. (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ. (3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. (4)(sin θ+cos θ)2+(sin ... ...