5.3 诱导公式 导学案 （含答案） 高一年级数学人教A版必修第一册

第3课时　诱导公式的综合应用 学习目标　1.熟练掌握诱导公式的结构特征.2.会利用诱导公式求值、化简与证明. 题型一　利用诱导公式证明恒等式 [例1] 求证:=. 【证明】 因为左边== ==-==右边,所以原式成立. 对于三角恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法. [变式训练] 证明:sin(217°-α)cos(α-127°)+cos2(127°-α)tan2(53°+α)=1. 【证明】 sin(217°-α)=sin[180°+(37°-α)]=-sin(37°-α), cos(α-127°)=cos(127°-α)=-sin(37°-α),cos2(127°-α)=sin2(37°-α), tan2(53°+α)= ==, 故等式左边=sin2(37°-α)+cos2(37°-α)=1,等式成立. 题型二　诱导公式在解三角形中的应用 [例2] 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状. 【解】 因为A+B+C=π,所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin =sin ,所以sin = sin ,所以sin(-C)=sin(-B),所以cos C=cos B.又B,C为△ABC的内角,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形. 利用诱导公式解决实际问题时,需注意公式四和公式五中的互补和互余,是广义上的互补和互余.在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形内角和A+B+C=π以及题目的具体条件进行适当变形,再化简求值. [变式训练] 已知A,B,C为△ABC的内角. (1)求证:cos2+cos2=1; (2)若cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形. 【证明】 (1)因为在△ABC中,A+B=π-C,所以=-,所以cos=cos(-)=sin , 所以cos2+cos2=sin2+cos2=1. (2)因为cos(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,所以-sin A·(-cos B)·tan C<0,即sin Acos Btan C<0. 又A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,所以cos Btan C<0,即cos B<0,tan C>0或 tan C<0,cos B>0,所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形. 题型三　三角函数的综合应用 [例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,). (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β是将角α的终边顺时针旋转得到的,求5sin β-5cos β+3tan β的值. 【解】 (1)根据题意,sin α==,cos α==,tan α==,sin(α+π)= -sin α=-. (2)根据题意,β=α-,故5sin β-5cos β+3tan β=5sin(α-)-5cos(α-)+3tan(α-)=5cos α+ 5sin α-=5×+5×-3×=-. 对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.对于特殊角的三角函数值,有时候先求出角然后化简比较简单. [变式训练] 已知tan(α-180°)=-,且90°<α<180°,求cos(α-360°)+sin(180°+α)值. 【解】 法一　tan(α-180°)=tan α=-, 又cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α, 则(cos α-sin α)2 = ===4. 又90°<α<180°,所以sin α>0,cos α<0, 即cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-2, 即cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos α-sin α=-2. 法二　因为tan(α-180°)=tan α=-,90°<α<180°,所以α=120°, 所以cos(α-360°)+sin(180°+α)=cos(120°-360°)+sin(180°+120°)=cos 120°-sin 120°= --×=-2.第2课时　诱导公式五、六 学习目标　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式,理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值与进行简单三角函数式的化简. 知识归纳 知识点一　诱导公式五 1.角-α与角α的终边关于直线y=x对称,如图所示. 2.公式:sin(-α) =cos α,cos(-α)=sin α. 知识点二　诱导公式六 1.公式五与公式六中角的联系为+α=π-(-α). 2.公式:sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α. (1)记忆方法:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 ... ...