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课件网) 人教A版（2019）选择性必修第三册 第八章 成对数据的统计分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程． 情景导入 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究 利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 新知探究 方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如图(1)所示. 方法二： 在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图(2)所示. 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示. 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径. 先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 归纳总结 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ???, (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ???, n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在这条直线上. 因此，可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 来刻画“整体接近程度”. 所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值. 要使Q取到最小值，则 ∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 综上，当a, b的取值为 时，Q达到最小. 经验回归方程与最小二乘估计： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 对于上表中的数据，利用公式(2)可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 相应的经验回归直线如下图所示. 求经验回归方程的步骤： 归纳总结 思考1 已知儿子身高关于父亲身高x的经验回归方程为 如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗? 为什么? 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高. 不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有 ... ...
