【精品解析】浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(三)

浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(三) 一、三角形内接矩形相似模型 1．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：设正方形边长为，则， 正方形内接于，上的高， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， 正方形的边长为， 故答案为：C． 【分析】设正方形边长为，由正方形四边相等得，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EDNP是矩形，由矩形的对边相等得出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，解出的值即可. 2．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型 【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故答案为：D． 【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长. 3．如图，在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形，则的值为　 　 【答案】7 【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形内接矩形相似模型 【解析】【解答】解：如图， 在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形， ， ， ． ， ， ， 解得(不符合题意，舍去)或． 故答案为：7. 【分析】利用余角的性质可证得，再通过相似三角形的性质得到，进而列出方程，解得. 4．（2024九上·温江期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　． 【答案】 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：，，， ， 如图，过点B作，垂足为P，交于Q． ， ， ， ∵在正方形，，，， ，， ， ， ∵， ∴∠QPG=90° 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， ∵， 解得， ∴正方形的边长为：； 故答案为：． 【分析】如图，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，再证明，再证四边形为矩形，可推出，设DE=x，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可． 5．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　． 【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型 【解析】【解答】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 【分析】过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式， ... ...