(课件网) 培优课 利用导数研究函数的零点 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用导数研究函数的零点个数 【例1】 给定函数 f （ x ）＝e x － x . （1）判断函数 f （ x ）的单调性，并求出 f （ x ）的值域； 解： 函数 f （ x ）的定义域为R， f'（ x ）＝e x －1， 令f'（ x ）＝0，解得 x ＝0. 当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如表所示： x （－∞，0） 0 （0，＋∞） f'（ x ） － 0 ＋ f （ x ） ↘ 1 ↗ 所以 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋ ∞）上单调递增. 当 x ＝0时， f （ x ）的极小值 f （0）＝1，也是最小值， 故函数 f （ x ）的值域为[1，＋∞）. （2）画出函数 f （ x ）的大致图象； 解： 由（1）可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点 f （－1）＝ ＋1， f （2）＝e2－2， f （0）＝1， 当 x →＋∞时， f （ x ）→＋∞，f'（ x ）→＋∞； 当 x →－∞时，指数函数 y ＝e x 越来越小，趋向于0， 因此函数 f （ x ）图象上的点逐渐趋向于直线 y ＝－ x ， 根据上述信息，画出函数 f （ x ）的大致图象如图所示. （3）求出方程 f （ x ）＝ m （ m ∈R）在区间[－1，2]上的根的个数. 解： 截取函数 f （ x ）在区间[－1，2] 上的图象，如图所示. 由图象知，当 f （0）＜ m ≤ f （－1），即当 m ∈（ 1， ＋1］时， f （ x ）与 y ＝ m 恰有 两个不同的交点， 即当 m ∈（ 1， ＋1］时，方程 f （ x ）＝ m 在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根； 同理，当 m ＝1或 ＋1＜ m ≤e2－2时，方程 f（ x ）＝ m 在区间[－1，2]上有唯一的实根； 当 m ＜1或 m ＞e2－2时，方程 f （ x ）＝ m 在 区间[－1，2]上无实根. 通性通法 判断函数零点的个数问题的思路 （1）求出函数的定义域； （2）求导数f'（ x ）及导数f'（ x ）的零点； （3）用f'（ x ）的零点将函数 f （ x ）的定义域划分为若干个区间，列 表给出f'（ x ）在各个区间上的正负，并得出 f （ x ）的单调性与 极值； （4）确定 f （ x ）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化 趋势； （5）画出 f （ x ）的大致图象； （6）由图象确定函数的零点个数. 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝ －1. （1）求 f （ x ）的单调区间； 解： 函数的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝e1－ a . f'（ x ）及 f （ x ）随 x 的变化情况如下表： x （0，e1－ a ） e1－ a （e1－ a ，＋∞） f'（ x ） ＋ 0 － f （ x ） ↗ 极大值 ↘ 所以 f （ x ）的单调递增区间为（0，e1－ a ），单调递减区间为 （e1－ a ，＋∞）. （2）当 a ≤1时，求函数 f （ x ）在区间（0，e]上零点的个数. 解： 由（1）可知 f （ x ）的最大值为 f （e1－ a ）＝ ， ①当 a ＝1时， f （ x ）在区间（0，1）上单调递增，在区间 （1，e）上单调递减. 又 f （1）＝0，故 f （ x ）在区间（0，e]上只有一个零点. ②当 a ＜1时，1－ a ＞0，e1－ a ＞1， 则 f （e1－ a ）＝ ＜0，所以 f （ x ）在区间（0，e]上无 零点. 综上，当 a ＝1时， f （ x ）在区间（0，e]上只有一个零点， 当 a ＜1时， f （ x ）在区间（0，e]上无零点. 题型二 由函数的零点个数求参数的范围 【例2】 若函数 f （ x ）＝ ax3－ bx ＋4，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得 极值－ . （1）求函数 f （ x ）的解析式； 解： 对 f （ x ）求导得f'（ x ）＝3 ax2－ b ， 由题意得 解得 a ＝ ， b ＝4（经检验满足题意）. ∴ f （ x ）＝ x3－4 x ＋4. （2）若方程 f （ x ）＝ k 有3个不同的实数根，求实数 k ... ...
