1.3 正方形形的性质与判定讲义2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册（七大题型） 知识归纳： 知识点一：正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点二：正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边———四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角———四个角都是直角； 3.对角线———��相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点三：正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点四：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 题型突破： 【题型 1 根据正方形性质与判定求角度】 1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ） A． B． C． D． 2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ） A． B． C． D． 3.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 4.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为 【题型 2 根据正方形性质与判定求线段长度】 1.一个正方形的面积为8m ，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3.正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ． 4.如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ． 5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【题型 3 根据正方形性质与判定求面积】 1.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（ ） A．12 B．18 C．24 D．48 2.如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）． A．4 B．8 C．12 D．16 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 4.如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】 1.如图，A（0，2），D ... ...